Bevis (sett)
Lagt inn: 18/06-2011 21:52
Hei.
Setter pris på om noen kan se om jeg har gjort følgende riktig:
Bevis at [tex](A \times B)\cap(C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)[/tex]
Forslag:
La [tex]p = (x,y)[/tex] være et villkårlig element av [tex](A \times B)\cap(C \times D)[/tex]. Da har vi at [tex]p = (x,y) \in A \times B[/tex] så [tex]x \in A[/tex] og [tex]y \in B[/tex]. Videre har vi at [tex]p = (x,y) \in C \times D[/tex] så [tex]x \in C[/tex] og [tex]y \in D[/tex].
Derfor, ettersom [tex]x \in A[/tex] og[tex] x \in C[/tex] har vi at [tex]x \in A \cap C[/tex], og ettersom [tex]y \in B[/tex] og [tex]y \in D[/tex] har vi at [tex]y \in B \cap D[/tex]. Det følger dermed at:
[tex](A \times B)\cap(C \times D) \subseteq (A \cap C) \times (B \cap D)[/tex]
La så [tex]p = (x,y)[/tex] være et villkårlig element av [tex](A \cap C) \times (B \cap D)[/tex]. Da har vi at [tex]p = (x,y)[/tex] for [tex]x \in A \cap C[/tex] og [tex]p = (x,y)[/tex] for [tex]y \in B \cap D[/tex]. Dermed, ettersom [tex]x \in A, x \in C[/tex] og [tex]y \in B, y \in D[/tex] har vi at [tex]p = (x,y) \in (A \times B)\cap(C \times D)[/tex].
Det følger dermed at: [tex](A \cap C) \times (B \cap D) \subseteq (A \times B) \cap (C \times D)[/tex].
Samlet gir dette oss dermed at:
[tex](A \times B)\cap(C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)[/tex]
Setter pris på om noen kan se om jeg har gjort følgende riktig:
Bevis at [tex](A \times B)\cap(C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)[/tex]
Forslag:
La [tex]p = (x,y)[/tex] være et villkårlig element av [tex](A \times B)\cap(C \times D)[/tex]. Da har vi at [tex]p = (x,y) \in A \times B[/tex] så [tex]x \in A[/tex] og [tex]y \in B[/tex]. Videre har vi at [tex]p = (x,y) \in C \times D[/tex] så [tex]x \in C[/tex] og [tex]y \in D[/tex].
Derfor, ettersom [tex]x \in A[/tex] og[tex] x \in C[/tex] har vi at [tex]x \in A \cap C[/tex], og ettersom [tex]y \in B[/tex] og [tex]y \in D[/tex] har vi at [tex]y \in B \cap D[/tex]. Det følger dermed at:
[tex](A \times B)\cap(C \times D) \subseteq (A \cap C) \times (B \cap D)[/tex]
La så [tex]p = (x,y)[/tex] være et villkårlig element av [tex](A \cap C) \times (B \cap D)[/tex]. Da har vi at [tex]p = (x,y)[/tex] for [tex]x \in A \cap C[/tex] og [tex]p = (x,y)[/tex] for [tex]y \in B \cap D[/tex]. Dermed, ettersom [tex]x \in A, x \in C[/tex] og [tex]y \in B, y \in D[/tex] har vi at [tex]p = (x,y) \in (A \times B)\cap(C \times D)[/tex].
Det følger dermed at: [tex](A \cap C) \times (B \cap D) \subseteq (A \times B) \cap (C \times D)[/tex].
Samlet gir dette oss dermed at:
[tex](A \times B)\cap(C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)[/tex]
