matematikk.net

Oppgave 8.6.1
g)
Finn areal av området avgrenset av de oppgitte kurvene:

[tex]y=2x^2[/tex]
[tex]y=x^2[/tex]
[tex]y=\frac{1}{x}[/tex]

Hva skal stå i integranden og hva blir nedre og øvre grense for dette?????

Fasitsvar: [tex]\frac{1}{3}ln2[/tex]

På forhånd takk!

[tex]2x^2[/tex] er lik [tex]x^2[/tex] i punktet [tex](0,0)[/tex]

[tex]2x^2[/tex] er lik [tex]1/x[/tex] i punktet [tex](\frac{2^{2/3}}{2},\sqrt[3]{x})[/tex]

[tex]x^2[/tex] er lik [tex]\frac{1}{x}[/tex] i punktet (1,1)

Nå har vi tre punkter. Så ser vi at 2x^2 vokser raskere på intervalet (0,1) enn x^2. Og at 1/x er synkende for alle verdier av x.

Problemet blir mye lettere om man lager en liten tegning.

Uansett, ved å drøfte disse punktene, og se hvor funksjonen stiger synker kan vi vise at arealet av området er.

[tex] \left( \int_{0}^{\frac{2^{2/3}}{2}} 2x^2 dx - {\int_{0}^{\frac{2^{2/3}}{2}} x^2 dx \right) + \left( \int_{\frac{2^{2/3}}{2}}^{1} \frac{1}{x}dx - \int_{\frac{2^{2/3}}{2}}^{1} x^2 dx \right) \, = \, \frac{1}{3}\ln(2)[/tex]

Strålende!