Hei.
Nå er jeg tilbake fra ferie og klar for nytt semester!
Har brukt de siste dagene til å lese meg litt opp på en del teori for å forberede meg til reell analyse. Har sett litt på teorien bak vektorrom, og har et lite spørsmål relatert til dette.
Helt fra videregående av har jeg forstått det slik at en vektor har en lengde og en retning. Men når vi opererer med vektorer i andre rom enn i [tex]\mathbb{R}^n[/tex], har vektorene fremdeles alltid en retning? Vi kan jo gjennom indreproduktet finne normen til vektorer i andre vektorrom, men det slo meg nå at jeg aldri har tenkt over dette med retning i andre vektorrom (f.eks. i rom som involverer polynomer eller kontinuerlige funksjoner som tilfredsstiller aksiomene for vektorrom).
Setter veldig stor pris på om noen kort kan forklare dette!
Spørsmål om vektorrom
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Gir retning i den forstand jeg tror du mener i det hele tatt mening i andre rom enn R[sup]3[/sup]?
Uansett. Du er sikkert kjent med teoremet som sier at alle n-dimensjonale vektorrom er isomofe med R[sup]n[/sup], så for slike endelig-dimensjonale vektorrom er retningsbegrepet slik du ser det for deg i R[sup]n[/sup]. Hvis du derimot jobber i rommet av kontinuerlige funksjoner eller andre funksjonsrom som generellt er uendelig-dimensjonale, kan ting bli litt mer komplisert. Du kan for eksempel ha elementer i rommet som ikke kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av en gitt mengde basisvektorer. Du kan likevel ha en veldefinert vinkel mellom vektorer, selv om denne vil være avhengig avditt valg av indreprodukt.
Uansett. Du er sikkert kjent med teoremet som sier at alle n-dimensjonale vektorrom er isomofe med R[sup]n[/sup], så for slike endelig-dimensjonale vektorrom er retningsbegrepet slik du ser det for deg i R[sup]n[/sup]. Hvis du derimot jobber i rommet av kontinuerlige funksjoner eller andre funksjonsrom som generellt er uendelig-dimensjonale, kan ting bli litt mer komplisert. Du kan for eksempel ha elementer i rommet som ikke kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av en gitt mengde basisvektorer. Du kan likevel ha en veldefinert vinkel mellom vektorer, selv om denne vil være avhengig avditt valg av indreprodukt.
Tusen takk for svar. Det er nettopp det du sier her som jeg lurte på - nemlig at "retning" ikke gir samme mening i andre rom enn i R[sup]3[/sup].espen180 skrev:Gir retning i den forstand jeg tror du mener i det hele tatt mening i andre rom enn R[sup]3[/sup]?
Uansett. Du er sikkert kjent med teoremet som sier at alle n-dimensjonale vektorrom er isomofe med R[sup]n[/sup], så for slike endelig-dimensjonale vektorrom er retningsbegrepet slik du ser det for deg i R[sup]n[/sup]. Hvis du derimot jobber i rommet av kontinuerlige funksjoner eller andre funksjonsrom som generellt er uendelig-dimensjonale, kan ting bli litt mer komplisert. Du kan for eksempel ha elementer i rommet som ikke kan uttrykkes som en lineær kombinasjon av en gitt mengde basisvektorer. Du kan likevel ha en veldefinert vinkel mellom vektorer, selv om denne vil være avhengig avditt valg av indreprodukt.
Videre kjenner jeg godt til isomorfi mellom ulike vektorrom, og at operasjoner i et vektorrom, f.eks. [tex]V[/tex], kan illusteres i det mer kjente vektorromet R[sup]3[/sup] så fremt betingelsene for isomorfi oppfylles.
Er derfor med på det du sier, og setter stor pris på forklaringen. Dette er vel egentlig teori som jeg får mer bruk for i funksjonalanalyse enn i reell analyse, men i og med at jeg på sikt planlegger å ta funksjonalanalyse er det greit å få det teoretiske fundamentet på plass så tidlig som mulig
.Takk skal du ha!
Hva mener du? I definisjonen til en vektor i det Euklidiske rom er en vektor definert som å ha en gitt lengde og en gitt retning (se http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_%28 ... physics%29). Eksempler er kraft og fart Dersom man kun har lengde, men ikke retning, har man i stedet en skalar. Eksempler er masse og tid.Magnus skrev:Hva er en retning?
Du på presisere hva du mener med ordet retning og hva du mener med at noe har en retning. Når vi så er blitt enige om retningsbegrepet burde det være enkelt å sjekke om f.eks. vektorer i rommet av alle kontinuerlige funksjoner oppfyller de kravene vi har satt for at noe skal "ha en retning".
Kan ikke huske å ha sett noen språklig definisjon av begrepet retning i de tekstene jeg har sett over hittil (er det ikke ganske innlysende hva det betyr?). Som regel står det at en vektor kjennetegnes ved å ha en lengde og en retning, uten at begrepene defineres nærmere enn dette. Det er jo nettopp derfor en vektor illustreres med piler - slik at retningen (enten det er fart, kraft, elektrisk strømning, etc) er kjent. Også i definisjonen på Wikipedia står det for Euclidean vector:
"a geometric entity endowed with both length and direction; an element of a Euclidean vector space. In physics, euclidean vectors are used to represent physical quantities which have both magnitude and direction, such as force, in contrast to scalar quantities, which have no direction. "
Begrepet "direction" defineres imidlertid ikke utover dette.
Mitt spørsmål i åpningsinnlegget var at de få gangene (det er ganske begrenset) jeg har støtt på andre vektorrom enn R[sup]n[/sup] så har jeg sett at det defineres en lengde (norm), men det slo meg at det ikke stod noe om retning i disse rommene (bortsett fra i de tilfellene hvor man har isomorfi som jo medfører at operasjonene kan illustreres også i R[sup]n[/sup]). Likevel bruker man ordet "vektorrom" - og elementene i rommet oppfører seg akkurat som vektorer i og med at de oppfyller aksiomene til generelle vektorrom. Det er nettopp dette jeg synes var litt uklart - man bruker fortsatt begrepet "vektor" selv om jeg ikke ser noen illustrasjon av disse vektorenes lengde, og helt fra videregående av så har jeg som sagt blitt opplært til at en vektor skal ha både lengde og retning.
Som sagt så er det begrenset det jeg har lest om dette, og det var nettopp derfor jeg postet spørsmålet her.
"a geometric entity endowed with both length and direction; an element of a Euclidean vector space. In physics, euclidean vectors are used to represent physical quantities which have both magnitude and direction, such as force, in contrast to scalar quantities, which have no direction. "
Begrepet "direction" defineres imidlertid ikke utover dette.
Mitt spørsmål i åpningsinnlegget var at de få gangene (det er ganske begrenset) jeg har støtt på andre vektorrom enn R[sup]n[/sup] så har jeg sett at det defineres en lengde (norm), men det slo meg at det ikke stod noe om retning i disse rommene (bortsett fra i de tilfellene hvor man har isomorfi som jo medfører at operasjonene kan illustreres også i R[sup]n[/sup]). Likevel bruker man ordet "vektorrom" - og elementene i rommet oppfører seg akkurat som vektorer i og med at de oppfyller aksiomene til generelle vektorrom. Det er nettopp dette jeg synes var litt uklart - man bruker fortsatt begrepet "vektor" selv om jeg ikke ser noen illustrasjon av disse vektorenes lengde, og helt fra videregående av så har jeg som sagt blitt opplært til at en vektor skal ha både lengde og retning.
Som sagt så er det begrenset det jeg har lest om dette, og det var nettopp derfor jeg postet spørsmålet her.
Det er riktig at man må definere ordet retning først. Det vil vel være naturlig å representere retningen til et element i [tex]R^2[/tex] som et punkt på enhetssirkelen. F.eks. vil koordinatet(vektoren) [tex](3,2)[/tex] relativt standardbasisen i [tex]R^2[/tex], ha en retning representert ved elementet [tex]\frac{(3,2)}{|(3,2)|}[/tex], som har norm 1.
Man kan vel gjøre noe analogt for funksjonsrom..
Man kan vel gjøre noe analogt for funksjonsrom..
Takk skal du ha.
Jeg fant forøvrig en veldig fin forklaring på dette her:
http://everything2.com/title/vector
Her står det jo enkelt og greit forklart at det er i R[sup]n[/sup] kravene om lengde og retning må oppfylles. I andre vektorrom er ikke dette nødvendig. Så fremt man arbeider med sett som oppfyller aksiomene for vektorrom, så kan man også her bruke begrepet "vektor" om disse settene til tross for at man her ikke nødvendigvis har en klart definert lengde og retning.
Jeg fant forøvrig en veldig fin forklaring på dette her:
http://everything2.com/title/vector
Her står det jo enkelt og greit forklart at det er i R[sup]n[/sup] kravene om lengde og retning må oppfylles. I andre vektorrom er ikke dette nødvendig. Så fremt man arbeider med sett som oppfyller aksiomene for vektorrom, så kan man også her bruke begrepet "vektor" om disse settene til tross for at man her ikke nødvendigvis har en klart definert lengde og retning.