matematikk.net

Det er et spørsmål jeg har tenkt på i lang tid, men ikke har gjordt meg bryet med å finne ut av: Hva er forskjellen på [tex]\mathbb{C}[/tex] og [tex]\mathbb{R}^2[/tex]?

Det kommer an på hvilke operasjoner du definerer på [tex]\mathbb{R}^2[/tex].

Vanligvis mener vi med [tex]\mathbb{R}^2[/tex] et 2-dimensjonalt vektorrom, og da er dette ikke det samme som [tex]\mathbb{C}[/tex], som i tillegg til å være et 2-dimensjonalt vektorrom over [tex]\mathbb{R}[/tex] kan være et 1-dimensjonalt vektorrom over [tex]\mathbb{C}[/tex], og er i tillegg en kropp.

Du kan gjøre [tex]\mathbb{R}^2[/tex] til en kropp ved å definere passende operasjoner, men da tror jeg den blir isomorf med [tex]\mathbb{C}[/tex].

Det blir det espen180 sier. A priori 'er' [tex]{\mathbb R}^2[/tex] bare mengden par (a,b) med a,b reelle tall. Ofte kan det også bety vektorrommet av 'piler i planet' der en har mengden par (a,b) og i tillegg muligheten til å gange dem med skalarer og legge dem sammen. [tex]\mathbb C[/tex] har i en viss forstand alt dette, men har i tillegg mer struktur enn [tex]{\mathbb R}^2[/tex], for her kan du også gange ting sammen.

Hva er en kropp og en ring osv?

De er algebraiske strukturer. Ta en mendge med elementer og definer operasjoner på dem. Avhengig av antallet operasjoner og egenskapene du gir dem, kaller vi sturkturen en gruppe, ring, osv.

Et enkelt eksempel er en gruppe: http://en.wikipedia.org/wiki/Group_%28mathematics%29