Kabel og tårn
Lagt inn: 23/08-2011 17:58
Oppgave 8.6.28 (NTH)
En 350m lang kabel er festet i toppen av et 100 m høyt tårn (punkt A på figuren) og i et punkt B på bakken, 300m fra foten av tårnet.
Kabelen henger fritt i luften mellom A og et punkt C på bakken mellom B og foten av tårnet.I et koordinatsystem med origo i foten av tårnet kan den delen av kabelen som henger fritt, beskrives av ligningen:
[tex]y=b[cosh(\frac{x}{b}-a)-1][/tex]
der a, og b er positive konstanter og punktet C har koordinater [tex]\: (ab,0) \:[/tex].
a) Finn lengden av kabelen fra A til C uttrykkt ved a og b og vis at
[tex]sinh(a)-a=\frac{1}{2}(cosh(a)-1)[/tex]
b)Finn en tilnærmet verdi for a ved to iterasjoner med Newtons metode. Bruk startverdi 1,6 og angi resultatet av 1. og 2. iterasjon med fire desimaler.Hvor langt fra foten av tårnet er punktet C ?
Prøvde slik:
På a):
[tex]\int_{0}^{ab} \sqrt{1+(y`)^2} dx=[/tex]
[tex]\int_{0}^{ab} \sqrt{1+(-sinh(a-\frac{x}{b}))^2} dx=b sinh(a)[/tex]
Men hvordan vise at:
[tex]sinh(a)-a=\frac{1}{2}(cosh(a)-1)[/tex]
?
Og på b) prøvde slik:
benyttet denne i newton metode:
[tex]sinh(a)-a-\frac{1}{2}(cosh(a)-1)=0=f(x)[/tex]
[tex]x_{1}=1,6-\frac{sinh(1,6)-1,6-\frac{1}{2}(cosh(1,6)-1)}{-0.5 sinh(1,6)+cosh(1,6)-1}=1,6337[/tex]
[tex]x_{2}=1,6337-\frac{sinh(1,6337)-1,6337-\frac{1}{2}(cosh(1,6337)-1)}{-0.5 sinh(1,6337)+cosh(1,6337)-1}=1,6323[/tex]
Men hvordan finne hvor langt fra foten av tårnet er punktet C ?
En 350m lang kabel er festet i toppen av et 100 m høyt tårn (punkt A på figuren) og i et punkt B på bakken, 300m fra foten av tårnet.
Kabelen henger fritt i luften mellom A og et punkt C på bakken mellom B og foten av tårnet.I et koordinatsystem med origo i foten av tårnet kan den delen av kabelen som henger fritt, beskrives av ligningen:
[tex]y=b[cosh(\frac{x}{b}-a)-1][/tex]
der a, og b er positive konstanter og punktet C har koordinater [tex]\: (ab,0) \:[/tex].
a) Finn lengden av kabelen fra A til C uttrykkt ved a og b og vis at
[tex]sinh(a)-a=\frac{1}{2}(cosh(a)-1)[/tex]
b)Finn en tilnærmet verdi for a ved to iterasjoner med Newtons metode. Bruk startverdi 1,6 og angi resultatet av 1. og 2. iterasjon med fire desimaler.Hvor langt fra foten av tårnet er punktet C ?
Prøvde slik:
På a):
[tex]\int_{0}^{ab} \sqrt{1+(y`)^2} dx=[/tex]
[tex]\int_{0}^{ab} \sqrt{1+(-sinh(a-\frac{x}{b}))^2} dx=b sinh(a)[/tex]
Men hvordan vise at:
[tex]sinh(a)-a=\frac{1}{2}(cosh(a)-1)[/tex]
?
Og på b) prøvde slik:
benyttet denne i newton metode:
[tex]sinh(a)-a-\frac{1}{2}(cosh(a)-1)=0=f(x)[/tex]
[tex]x_{1}=1,6-\frac{sinh(1,6)-1,6-\frac{1}{2}(cosh(1,6)-1)}{-0.5 sinh(1,6)+cosh(1,6)-1}=1,6337[/tex]
[tex]x_{2}=1,6337-\frac{sinh(1,6337)-1,6337-\frac{1}{2}(cosh(1,6337)-1)}{-0.5 sinh(1,6337)+cosh(1,6337)-1}=1,6323[/tex]
Men hvordan finne hvor langt fra foten av tårnet er punktet C ?