Partikkel med konstant akselerasjon

[Integralen]

Oppgave 8.6.29

a)En partikkel beveger seg langs en rett linje med konstant akselerasjon a. Ved tiden [tex]\: t=0 \:[/tex] er farten [tex]\: v_0\:[/tex]. Vis at farten ved tid [tex]\: t \:[/tex] er [tex]\: v=v_0 +at \:[/tex].

b)Vis også at den tilbakelagte strekningen i løpet av tiden [tex]\: t \:[/tex] er [tex]\: s=v_o t + \frac{1}{2}at^2[/tex].

Prøvde slik:

a)
Siden den deriverte av strekningen s er lik farten v så deriverer vi s og får:

[tex]v=v_0+at[/tex]

b)
Siden den deriverte strekningen s er lik farten så er integralet av farten lik strekningen
[tex]\int v_0 +at \: dt=v_0 t+\frac{1}{2}at^2=s[/tex]



Dette virket veldig enkelt, var det rikitg å gjøre det slik eller fins det en riktig måte å løse denne oppgaven på?

[Vektormannen]

Det er i korte trekk så enkelt, ja! Men det er noen småting som er gale i svarene.

a) Du sier at du har derivert strekningen, men denne er jo strengt tatt ikke gitt (enda)? Hva med å benytte at du får farten ved å integrere akselerasjonen over tiden?

b) Her glemmer du at du også vil få en konstant når du integrerer. Det du strengt tatt må gjøre her er å skille tiden, som blir grensene i integralet, fra integrasjonsvariabelen (som er en midlertidig "løpevariabel" som vi bruker under summasjonen i integralet.) Du kan f.eks. kalle integrasjonsvariabelen for [tex]\tau[/tex]. Da har vi:

[tex]s = \int_0^t v_0 + a \tau d\tau[/tex]

(Andre vanlige navn på integrasjonsvariabelen er f.eks. t')

[Integralen]

Hvordan skal integralet til akselerasjonen over tid som du nevner se ut for å få fartslikningen?

[tex]\int_{0}^{t} \frac{v-v_0}{\tau}d \tau[/tex]

Altså prøver å integrere akselerasjonen for å få farten.Men dette integralet konvergerer ikke.

Kan du vise slik du mener man kommer fram til fartslikningen?

[Vektormannen]

Fra før har partikkelen farten [tex]v_0[/tex]. Akselerasjonen gir en fartsøkning [tex]\Delta v = \int_0^t a d\tau = [a\tau]_0^t = at[/tex]. Da får vi [tex]v = v_0 + \Delta v = v_0 + at[/tex]. (Egentlig trenger man strengt tatt ikke integrere for å komme frem til dette, det er jo konstant akselerasjon.)

[Integralen]

Ja, for konstant akselerasjon vil jo være det samme på hvilket som helst tidspunkt og dermed [tex]\: at \:[/tex] også har vi da [tex]\: v_0 \:[/tex] fra før og dermed [tex]\: v= v_0 +at \:[/tex].

Nicley done vectorman!