matematikk.net

Oppgave 8.6.30

En 2 m lang stang er laget av et stoff med varierende tetthet. x meter fra den ene enden av stangen er tettheten [tex]\: \frac{4x^2kg}{m} \:[/tex]. Finn stangens masse.

Prøvde (men kan være feil):

[tex]\rho=\frac{m}{V}[/tex]

[tex]m=\rho \cdot V[/tex]

Jeg tegnet denne tegningen:



Så benyttet jeg av:

[tex]\pi \int_{0}^{2} (4x^2)^2 dx=\frac{\pi 512}{5}=V \:[/tex] ?

Så da har jeg V?


Hvordan finner jeg :
[tex]\rho[/tex]

?

For å sette inn i [tex]\: m=\rho V[/tex]

som gir massen.

På forhånd takk!

Du er inne på noe, men den oppgitte tettheten er i kilogram per meter, ikke per meter i tredje. Det er altså snakk om en lengdetetthet, ikke en volumtetthet. Det gir derfor ikke noen mening å blande inn volum her. Du kan jo umulig finne et volum av et utsnitt av stangen siden du ikke vet hvilken form den har, og hvor bred den er / hvor stor radius den har osv. Jeg vet ikke helt hva du mener med det integralet du regner ut, men jeg tror ikke det blir riktig.

Poenget her er at i avstand x fra enden så er tettheten per lengdeenhet lik [tex]4x^2 \text{kg/m}[/tex]. Det betyr at hvis du f.eks. er 1m fra enden så vil massetettheten akkurat der være 4kg/m. Ganger du denne med en liten avstand så får du omtrent hvor stor masse det er i denne lille delen av stangen. "Problemet" er at massetettheten hele tiden endrer seg, så selv i et lite område vil den ikke være konstant. Dette løses ved å dele opp stangen i mindre og mindre biter (til slutt "uendelig små") og deretter summere opp massen i hver del. Dette gjøres ved å integrere.

Hvis du tenker deg en liten del av stangen med lengde dx (svært liten) og i avstand x fra enden, så har denne en masse gitt ved [tex]4x^2 \cdot dx[/tex] (masse per lengdeenhet ganget med den korte lengden dx). Hvis vi nå integrerer dette uttrykket fra den ene til den andre enden av staven så vil vi få den totale massen:

[tex]m = \int_0^2 4x^2 dx[/tex]

Hva står egentlig dx for sånn generelt i integraler?

Står det for de små breddene man får ved å tegne rektangler flere og flere av som vi summerer for å finne areal?

Og er i integralet du skrev over dx lengden fra 0 til 2 sant?

Ja, det stemmer, dx er en liten bredde.

Generelt i integraler så er dx en "infinitesimal" endring av funksjonsargumentet til funksjonen som integreres. I dette tilfellet er funksjonsargumentet lengden til stanga, så dx er her en liten endring av lengden. Kort sagt: tenk deg at vi deler opp stanga i mindre og mindre biter med bredde dx. Hver lille bit har en masse gitt ved massetettheten ganget med dx. Massetettheten er avhengig av hvor langt unna enden biten befinner seg.

Bra forklart og utført, vektormannen!