matematikk.net

Oppgave 8.6.32
En kule med radius 1 meter er laget av et stoff med varierende tetthet. x m fra sentrum er tettheten [tex]\: \frac{10x^2 kg}{m^3} \:[/tex]. Finn kulens masse.

Prøvde slik(brukte omdreiningsformelen for legemet som dreies om y-aksen):

[tex]2\pi \int_{a}^{b}xf(x)dx[/tex]

gir:

[tex]20\pi \int_{0}^{1} x^3dx=20\pi [\frac{1}{4}x^4]_{0}^{1}=5 \pi[/tex]

Så siden vi regnet for halvparten av kulen så er hele kulen gitt ved:

[tex]5\pi \cdot 2=10\pi[/tex]

Spørsmålet er:
Er dette riktig utført?Er det riktig masse av kula?Hvis ikke hvordan blir det riktig?

På forhånd takk!

noe sånt...

[tex]m=10\int_0^1x^2 A\,dx[/tex]

der

[tex]A=4\pi x^2[/tex]

Husk at x er avstanden fra sentrum. Ikke fra x-aksen.[/tex]

Et spørsmål:

[tex]Adx[/tex]

er vel de små delene av kulens flate som varierer etter tettheten?

Hvis det hadde vært en kvadrat istedenfor kule så hadde det stått:

[tex]s^2dx[/tex]

i tillegg til tetthetsvariabelen med en viss konstant.Enig?

Altså hvorfor er det tatt med A og ikke bare tetthetsfunksjonen som det var tilfelle i stang oppgaven(se forrige post) ?

[tex]4\pi r^2\,dx[/tex] er volumet av et tynt kuleskall. Hvis man integrerer over alle disse kuleskallene får man volumet. Om man ganger med [tex]\rho[/tex] får man massen.

Jeg fikk [tex]\frac{4\pi}5[/tex] med [tex]\rho = r^2[/tex] både ved trippelintegral, og ved kuleskall.

[tex]\: \rho=10x^2 [/tex]

[tex]m=\int_{0}^{1} \rho 4 \pi x^2 dx=40 \pi \int_{0}^{1} x^4 dx=8 \pi[/tex]

fikk jeg...

(har ikke fasitsvar, antar at dette er riktig)

[tex]\frac{4\pi}5\cdot 10 = 8\pi[/tex]

Er nok riktig det.

bra Gommle