Finne formel for n'te-derivert

[moth]

Jeg har en oppgave der jeg skal finne den n-te deriverte av [tex]f(x)=(x+2)^{\frac23}[/tex]
Jeg har regnet ut de 4 første for å finne et mønster. Det ble

[tex]f^\prime(x)=\frac23(x+2)^{-\frac13}[/tex]

[tex]f^{\prime\prime}(x)=-\frac29(x+2)^{-\frac43}[/tex]

[tex]f^{\prime\prime\prime}(x)=\frac8{27}(x+2)^{-\frac73}[/tex]

[tex]f^{(4)}(x)=-\frac{56}{81}(x+2)^{-\frac{10}3}[/tex]

Men så sliter jeg med å finne en skikkelig formel. Jeg fant tilslutt ut at

[tex]f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n2^{n-1}(5-3n)}{3^n}(x+2)^{\frac{2-3n}{3}}[/tex]

stemmer for alle deriverte utenom første. Men jeg synst det er litt rart at den ikke stemmer for alle n pluss at jeg føler den er alt for komplisert for å være riktig. Noen som kan se om jeg har gjort noen feil eller om jeg har tenkt feil et sted?

[Nebuchadnezzar]

[tex]f^{(n)}(x)=\frac{a_{n+1}=(3n-2)a_n}{3^n}(x+2)^{\frac{2-3n}{3}}[/tex]

funker vel, der [tex]a_1 = 2[/tex]

[moth]

No ser jeg at den formelen min ikke stemmer for høyere deriverte enn 4 heller. Ikke rart jeg ikke klarte å bevise den

Men jeg er ikke helt med på hva du mener. Sier du telleren blir (3n-2)a[sub]n[/sub]?
Hva blir a[sub]n[/sub] da? F.eks. a[sub]5[/sub]
Hvordan regnet du det ut?

[Nebuchadnezzar]

[tex]a_{n+1}=(3n-2)a_n[/tex]

Er en rekursiv formel, altså vi bruker det forrige leddet for å regne ut det neste. Skrev egentlig feil over. Burde heller ha skrevet

[tex]a_{n+1} = (3n-2)a_n[/tex]

[tex]a_{n} = (3(n-1)-2)a_{n-1} = (3n-5)a_{n-1}[/tex]

[tex]a_{n} = (3n-5)a_{n-1}[/tex]

[tex]a_{1}=2[/tex]

For eksempel er

[tex]a_{2}=(3\cdot2 - 5)a_{1} = (1)2= 2[/tex]

[tex]a_{3}=(3\cdot3 - 5)a_{2} =4(2) = 8[/tex]

[tex]a_{4}=(3\cdot4 - 5)a_{3} =7(8) = 56[/tex]

[tex]a_{5}=(3\cdot5 - 5)a_{4} =10(56) = 560[/tex]

osv

[moth]

Jeg vet hva en følge er:), jeg er bare ikke helt sikker på hvordan jeg skal bruke det i formelen. Men jeg tror jeg har det nå, takk for hjelpen!