matematikk.net

Hei!
Holder på med kvantemekanikk nå og trenger å vise et resultat her.
Noen påstår at

[tex]\int_0^\pi sin^n x dx = \frac{n-1}n \int_0^\pi sin^{n-2}dx[/tex]

men hvordan kommer man frem til dette?

At et bestemt integral blir til en konstant ganget med et ubestemt? Eller skal det andre integralet også ha samme grensene?

Beklager. Det andre integralet skulle også ha de samme grensene.

Prøv med delvis integrasjon.

begynner med den engang så trivielle observasjonen [tex]\sin^n x = \sin x \sin^{n-1}x[/tex]. Deretter bruker vi delvis integrasjon

[tex]\int_0^\pi \sin x \sin^{n-1}x\, dx = \left[ -\cos x \sin^{n-1} x \right]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x (n-1) \sin^{n-2}x \cos x \, dx[/tex]

innholdet i klammene blir 0, og uttrykket i det nye integralet kan skrives som ved identiteten [tex]\sin^ x + \cos^2 x =1[/tex]

[tex](n-1)\int_0^\pi (1-\sin^2 x)\sin^{n-2}x \dx = (n-1)\left( \int_0^\pi sin^{n-2}x\, dx - \int_0^\pi\sin^n x \, dx \right)[/tex]

og da har man en ligning på formen

[tex]I = (n-1)\left( \int_0^\pi sin^{n-2}x \, dx -I\right)[/tex]

Og resten tar du nok. =)

Takk skal du ha