matematikk.net

Oppgave
a)
Formelen er gitt:

[tex]\int_{0}^{x} e^{at} cos(bt) dt= \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}[a cos(bx)+bsin(bx)]-\frac{a}{a^2+b^2}[/tex]

for alle reelle tall a, b ulik 0.

b)Bruk formelen i a) til å beregne

[tex]\int_{0}^{x} e^{at} cos^2 (t) dt[/tex].


Kan noen løse denne oppgaven og vise hvordan den kan bli løst?

På forhånd takk!

Hvor langt har du kommet selv da?

Vi har at:

[tex]\int_{0}^{x} e^{at} cos(bt) dt= \frac{e^{ax}}{a^2+b^2}[a cos(bx)+bsin(bx)]-\frac{a}{a^2+b^2}[/tex]

Så hva blir :

[tex]\int_{0}^{x} e^{at} cos^2 (t) dt[/tex]

lik?

Hva skal vi erstatte med i formelen når vi nå har [tex]\: cos^2(t) \:[/tex]

istedenfor

[tex]cos(bt)[/tex]

i integranden ?

Hvordan kan du skrive om cos^2(x)?

Du sikter til identiteten :
[tex]cos^2(x)=\frac{1}{2}(cos(2x)+1)[/tex]

Dermed:

[tex]\int e^{at}cos^2(t)dt=\frac{1}{2} \int e^{at}cos(2t)dt + \frac{1}{2} \int e^{at} [/tex]

Følgelig bruker man formelen i a) ( der b=2) og får:

[tex]\frac{1}{2} \int_{0}^{x} e^{at}cos(2t)dt=\frac{e^{ax}}{2(a^2+4)}[a cos(2x)+2sin(2x)]-\frac{a}{2(a^2+4)}[/tex]

Totalt:

[tex]\int e^{at}cos^2(t)dt=\frac{1}{2} \int e^{at}cos(2x)dx + \frac{1}{2} \int e^{at} =\frac{e^{ax}}{2(a^2+4)}[a cos(2x)+2sin(2x)]-\frac{a}{2(a^2+4)}+\frac{e^{ax}-1}{2a} [/tex]

Q.E.D