Bevise den deriverte til kvadratroden til x.

[Gjest]

Har en oppgave som sier: Vis ved bruk av definisjonen på den deriverte at dersom f(x)=[rot][/rot]x, så er
f`(x)=1 / 2[rot][/rot]x

Dette gir lim ([rot][/rot]x+ dx - [rot][/rot]x) / dx når x-> 0, men hva gjør man så ???

[Kent]

Tips:
La
x+dx=a[sup]2[/sup]
x=b[sup]2[/sup]
og la
a -> b

Denne metoden kan brukes for alle potenser på formen 1/n

[Gjest]

Takk for tipset. Jeg var ikke oppmerksom på denne metoden for potenser på formen 1/n. Desverre står jeg fortsatt like fast med tanke på beviset..... Tror ikke jeg helt skjønte det med å la a->b.

[Kent]

Differansen mellom x+dx og x går mot 0. Altså at x+dx går mot x. Det blir det samme som å la a gå mot b. Sett inn for a og b i både teller og nevner. Da bør du få uttrykket
(a-b)/(a^2-b^2)
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
Da får du
1/(a+b) som går mot 1/2b , b=sqrt(x)
Sett inn og du har svaret.

[Gjest]

Tusen takk for hjelpen. Nå får jeg heldigvis sove i natt.......

[tokl]

lim f(x+h)-f(x)/h <-- def. til derivert.
h->0

--> f([rot]x+h[/rot])-[rot]x[/rot]/h

gang med den konjugerte og får --> h/h(([rot]x+h[/rot])+[rot]x[/rot])

h/h=1 --> sett inn 0 for h. --> 1/2[rot]x[/rot]