matematikk.net

Oppgave 9.1.22
La [tex]\: I_{n}=\int sin^{n}(x) dx \:[/tex]

c)Vis at [tex]\: I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}-\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]

Kan noen vise hvordan løsningen blir?

Er det ikke bare delvis integrasjon da?

%..

Nei, jeg mener slik:

[tex]\sin^nx=(1-\cos^2x)\sin^{n-2}x[/tex]

Derfor får vi (bekreft dette):

[tex]I_n=I_{n-2}-\int cos^2x\sin^{n-2}x\rm{d}x=I_{n-2} - K[/tex]

Bruk delvis integrasjon på K:

[tex]u=\cos\,x \, , \, v=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x[/tex]

[tex]K=\frac{1}{n-1}\cos\,x\sin^{n-1}x + \frac{1}{n-1}\int \sin^nx[/tex]

Jeg lar deg ta det herfra.

%"

Integralen skrev:men du espen, skal det ikke være + det siste leddet og ikke minus i K, siden cosx derivert lik -sinx.

Jo, det skal det visst. Min feil.

Integralen skrev: og en annen ting, er det ikke slik ligningen skal være:

[tex]sin^{n}(x)=(1-cos^2(x)) \frac{n-1}{n}sin^{n-2}(x)[/tex]

[tex]I_{n}=sin^{n}(x)=\frac{n-1}{n}sin^{n-2}(x)-sin^{n-2}(x)cos^2(x)-\frac{1}{n}sin^{n-2}(x)cos^2(x)[/tex]

Istedenfor:

[tex]sin^{n}(x)=(1-cos^2(x))sin^{n-2}(x)[/tex]

for å vise at :

[tex]I_{n}=sin^{n}(x)=\frac{n-1}{n} I_{n-2}-\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]

?

Nei, her tar du nok feil. Alt jeg har gjort er å bruke at [tex]\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]

da får jeg:

[tex]I_{n}=I_{n-2}-K[/tex]

1.
[tex]I_{n}=I_{n-2}-\frac{cos{x}}{n-1}sin^{n-1}(x)-\frac{1}{n-1} \int sin^{n}(x)dx[/tex]

men vi skulle jo vise at:
2.
[tex]I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2} -\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]

Integralen skrev:da får jeg:

[tex]I_{n}=I_{n-2}-K[/tex]

[tex]I_{n}=I_{n-2}-\frac{cos{x}}{n-1}sin^{n-1}(x)-\frac{1}{n-1} \int sin^{n}(x)dx[/tex]

men vi skulle jo vise at:
[tex]I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2} -\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]

Og disse to over er jo ikke like?

Har du prøvd å sammenligne selv?

"%

Hvis du bare setter inn [tex]I_n=\int \sin^n x\rm{d}x[/tex] (som du vet er sant per antagelse) og gjør noen kjappe algebraiske vendinger, faller uttrykket ut.

1.
[tex]I_{n}=I_{n-2}-\frac{cos{x}}{n-1}sin^{n-1}(x)-\frac{1}{n-1} \int sin^{n}(x)dx[/tex]


2.
[tex]I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2} -\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]

For de som er interessert: for å vise at 1. er lik 2. går vi fram slik:

Hva står foran [tex]\: I_{n-2} \:[/tex] i 2. Jo, der står det: [tex]\: \frac{n-1}{n} \:[/tex], så man ganger rett og slett med dette for alle ledd i 1. og får:

[tex]\frac{n-1}{n}I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}-\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)-\frac{1}{n}I_{n}[/tex]

[tex]I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2} -\frac{1}{n}sin^{n-1}(x)cos(x)[/tex]

q.e.d