Vi har differensialligningen
x' - x2 = 1,
x(0) = 1.
skal være separabel.
Hvordan skal jeg løse den?
Differensialligning
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Grothendieck
- Innlegg: 825
- Registrert: 14/02-2011 15:08
- Sted: Matteboken (adresse kun gyldig i semesteret) :)
Separabel når bare en variabel x el. y e.l. på hver side av likhetstegnet...
Integrer begge sider...
Bruk så x(0)=1 til å finne integrasjonskonstanten...
Integrer begge sider...
Bruk så x(0)=1 til å finne integrasjonskonstanten...
Det er bedre å stille et spørsmål og ikke få et svar, enn å ikke stille et spørsmål og ikke få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
Det aller beste er enten:
å stille et spørsmål og få et svar
eller
å ikke stille et spørsmål og få et svar.
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Står det ikke [tex]x^{\prime}[/tex] her og ikke [tex]y[/tex]?
Altså at likningen over er det samme som
[tex]y^{\prime} - y^2 = 1[/tex]
Da kan en som vektormannen har vist
gjøre noe slikt
[tex]x^{\prime} = x^2 + 1 [/tex]
[tex]\frac{dx}{dt} \frac{1}{x^2+1} = 1 [/tex]
[tex]\int \frac{1}{x^2+1} dx \, = \int 1 \, dt [/tex]
Altså at likningen over er det samme som
[tex]y^{\prime} - y^2 = 1[/tex]
Da kan en som vektormannen har vist
gjøre noe slikt
[tex]x^{\prime} = x^2 + 1 [/tex]
[tex]\frac{dx}{dt} \frac{1}{x^2+1} = 1 [/tex]
[tex]\int \frac{1}{x^2+1} dx \, = \int 1 \, dt [/tex]
Sist redigert av Nebuchadnezzar den 09/11-2011 19:32, redigert 1 gang totalt.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Ja , nesten. Eneste du mangler er at du må ta tangens til hele høyresiden din.
Altså
[tex]x \, = \, \tan \left( y \, + \, \mathcal{C} \right) [/tex]
Altså
[tex]x \, = \, \tan \left( y \, + \, \mathcal{C} \right) [/tex]
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Du har helt rett, Nebu! Beklager! Har sett meg så blind på analyse at jeg slurver ekstremt med selv elementære problemstillinger innenfor andre matematiske felt! Tok diff.ligninger i vår, og synes det var det enkleste faget hittil. Fikk A uten problemer! Og så slurver jeg til dette her! Ja, ja.
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Nå er det kanskje bare varierende notasjon som forvirrer deg litt.
Her spiller x rollen som navn på en funksjon og ikke som en variabel. Oppgaven din kan for eksempel skrives som
[tex]x^{\prime}(t) - x(t)^2 = 1[/tex]
dette er akkruatt det samme som
[tex]y^{\prime}(t) - y(t)^2 = 1[/tex]
En differensiallikning sier noe om en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte.
En funksjon er typisk sett på formen
[tex] y = x [/tex] som også kan skrives som [tex]f(x) = x[/tex]
Videre så kan en differensialllikning for eksempel skrives slik.
[tex]y^{\tiny\prime}(x) = y(t)[/tex]
Denne sier at den deriverte av funksjonen y, er lik funksjonen y, for alle x.
Meningen blir å finne alle funksjoner, som er slik at for UANSETT hvilken x, verdi du putter inn. Så skal x, verdien til den deriverte være lik.
Løsningen over er for eksempel [tex]e^x[/tex] siden den er sin egen verdi.
Matematikkere er late av definisjon. Så det er vanlig å forkorte difflikninger til.
[tex]y^{\tiny\prime} = y[/tex]
Men her er [tex]y[/tex] fortsatt en funksjon. Og den må ha en variabel. variabelnavnet spiller ingen rolle. Vanligvis bruker vi [tex]t[/tex] men x fungerer og.
Du har en differensiallikning som ser slik ut
[tex]x^{\tiny\prime} - x^2 \, = 1[/tex]
Men det som egentlig står ovenfor. Er at du har en funksjon x, som avhengier av en variabel. For eksempel y , t eller noe annet. Altså at vi kan skrive det ovenfor som
[tex]x^{\tiny\prime}(t) - x(t)^2 \, = 1[/tex]
Løsningen her blir da, at alle funksjoner som er på formen
[tex]x(t) \, = \, \tan( t + C )[/tex]
fungerer. Det betyr at uansett hvor hvilken t, verdi du setter inn i funksjonen [tex]x[/tex]
Så skal
[tex]x^{\tiny\prime}(t) - x(t)^2[/tex]
bli lik 1.
Så KORT SAGT. I oppgaven din så spiller [tex]x[/tex] rollen som navnet på funksjonen din, ikke en variabel. Vi står fritt til å velge navn på variabelen, for eksempel [tex]x(t)[/tex] eller [tex]x(y)[/tex].
Her spiller x rollen som navn på en funksjon og ikke som en variabel. Oppgaven din kan for eksempel skrives som
[tex]x^{\prime}(t) - x(t)^2 = 1[/tex]
dette er akkruatt det samme som
[tex]y^{\prime}(t) - y(t)^2 = 1[/tex]
En differensiallikning sier noe om en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte.
En funksjon er typisk sett på formen
[tex] y = x [/tex] som også kan skrives som [tex]f(x) = x[/tex]
Videre så kan en differensialllikning for eksempel skrives slik.
[tex]y^{\tiny\prime}(x) = y(t)[/tex]
Denne sier at den deriverte av funksjonen y, er lik funksjonen y, for alle x.
Meningen blir å finne alle funksjoner, som er slik at for UANSETT hvilken x, verdi du putter inn. Så skal x, verdien til den deriverte være lik.
Løsningen over er for eksempel [tex]e^x[/tex] siden den er sin egen verdi.
Matematikkere er late av definisjon. Så det er vanlig å forkorte difflikninger til.
[tex]y^{\tiny\prime} = y[/tex]
Men her er [tex]y[/tex] fortsatt en funksjon. Og den må ha en variabel. variabelnavnet spiller ingen rolle. Vanligvis bruker vi [tex]t[/tex] men x fungerer og.
Du har en differensiallikning som ser slik ut
[tex]x^{\tiny\prime} - x^2 \, = 1[/tex]
Men det som egentlig står ovenfor. Er at du har en funksjon x, som avhengier av en variabel. For eksempel y , t eller noe annet. Altså at vi kan skrive det ovenfor som
[tex]x^{\tiny\prime}(t) - x(t)^2 \, = 1[/tex]
Løsningen her blir da, at alle funksjoner som er på formen
[tex]x(t) \, = \, \tan( t + C )[/tex]
fungerer. Det betyr at uansett hvor hvilken t, verdi du setter inn i funksjonen [tex]x[/tex]
Så skal
[tex]x^{\tiny\prime}(t) - x(t)^2[/tex]
bli lik 1.
Så KORT SAGT. I oppgaven din så spiller [tex]x[/tex] rollen som navnet på funksjonen din, ikke en variabel. Vi står fritt til å velge navn på variabelen, for eksempel [tex]x(t)[/tex] eller [tex]x(y)[/tex].
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Ikke noe problem
Øving 10 du holder på med?
Øving 10 du holder på med?
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- von Neumann
- Innlegg: 525
- Registrert: 03/10-2010 00:32
Med den betingelsen som er gitt i oppgaven får man:
[tex]x(t)=tan(\frac{\pi}{4}+t)[/tex]
[tex]x(t)=tan(\frac{\pi}{4}+t)[/tex]