Side 1 av 1
Differensialligning
Lagt inn: 09/11-2011 18:28
av simher
Vi har differensialligningen
x' - x2 = 1,
x(0) = 1.
skal være separabel.
Hvordan skal jeg løse den?
Lagt inn: 09/11-2011 19:01
av wingeer
Er det [tex]x^2[/tex]?
Lagt inn: 09/11-2011 19:07
av simher
ja skrev feil
Lagt inn: 09/11-2011 19:10
av mstud
Separabel når bare en variabel x el. y e.l. på hver side av likhetstegnet...
Integrer begge sider...
Bruk så x(0)=1 til å finne integrasjonskonstanten...
Lagt inn: 09/11-2011 19:26
av krje1980
Vi har:
[tex]x^\prime - x^2 = 1[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx} = 1 + x^2[/tex]
[tex]dy = (1 + x^2)dx[/tex]
[tex]y = x + \frac{x^3}{3} + C[/tex]
Tar du det videre herfra med initialbetingelsen?
Lagt inn: 09/11-2011 19:31
av Nebuchadnezzar
Står det ikke [tex]x^{\prime}[/tex] her og ikke [tex]y[/tex]?
Altså at likningen over er det samme som
[tex]y^{\prime} - y^2 = 1[/tex]
Da kan en som vektormannen har vist
gjøre noe slikt
[tex]x^{\prime} = x^2 + 1 [/tex]
[tex]\frac{dx}{dt} \frac{1}{x^2+1} = 1 [/tex]
[tex]\int \frac{1}{x^2+1} dx \, = \int 1 \, dt [/tex]
Lagt inn: 09/11-2011 19:31
av simher
får da:
1/x²+1 = 1
[symbol:integral] 1/x²+1 dx = [symbol:integral] 1 dy
arctan x = y + C
x = tan y + C
riktig så langt?
Lagt inn: 09/11-2011 19:34
av Nebuchadnezzar
Ja , nesten. Eneste du mangler er at du må ta tangens til hele høyresiden din.
Altså
[tex]x \, = \, \tan \left( y \, + \, \mathcal{C} \right) [/tex]
Lagt inn: 09/11-2011 19:36
av simher
Nå vil du jo være 2 ukjente da
både y og C. Har bare x(0) = 1
Lagt inn: 09/11-2011 19:40
av krje1980
Du har helt rett, Nebu! Beklager! Har sett meg så blind på analyse at jeg slurver ekstremt med selv elementære problemstillinger innenfor andre matematiske felt! Tok diff.ligninger i vår, og synes det var det enkleste faget hittil. Fikk A uten problemer! Og så slurver jeg til dette her! Ja, ja.
Lagt inn: 09/11-2011 19:47
av Nebuchadnezzar
Nå er det kanskje bare varierende notasjon som forvirrer deg litt.
Her spiller x rollen som navn på en funksjon og ikke som en variabel. Oppgaven din kan for eksempel skrives som
[tex]x^{\prime}(t) - x(t)^2 = 1[/tex]
dette er akkruatt det samme som
[tex]y^{\prime}(t) - y(t)^2 = 1[/tex]
En differensiallikning sier noe om en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte.
En funksjon er typisk sett på formen
[tex] y = x [/tex] som også kan skrives som [tex]f(x) = x[/tex]
Videre så kan en differensialllikning for eksempel skrives slik.
[tex]y^{\tiny\prime}(x) = y(t)[/tex]
Denne sier at den deriverte av funksjonen y, er lik funksjonen y, for alle x.
Meningen blir å finne alle funksjoner, som er slik at for UANSETT hvilken x, verdi du putter inn. Så skal x, verdien til den deriverte være lik.
Løsningen over er for eksempel [tex]e^x[/tex] siden den er sin egen verdi.
Matematikkere er late av definisjon. Så det er vanlig å forkorte difflikninger til.
[tex]y^{\tiny\prime} = y[/tex]
Men her er [tex]y[/tex] fortsatt en funksjon. Og den må ha en variabel. variabelnavnet spiller ingen rolle. Vanligvis bruker vi [tex]t[/tex] men x fungerer og.
Du har en differensiallikning som ser slik ut
[tex]x^{\tiny\prime} - x^2 \, = 1[/tex]
Men det som egentlig står ovenfor. Er at du har en funksjon x, som avhengier av en variabel. For eksempel y , t eller noe annet. Altså at vi kan skrive det ovenfor som
[tex]x^{\tiny\prime}(t) - x(t)^2 \, = 1[/tex]
Løsningen her blir da, at alle funksjoner som er på formen
[tex]x(t) \, = \, \tan( t + C )[/tex]
fungerer. Det betyr at uansett hvor hvilken t, verdi du setter inn i funksjonen [tex]x[/tex]
Så skal
[tex]x^{\tiny\prime}(t) - x(t)^2[/tex]
bli lik 1.
Så KORT SAGT. I oppgaven din så spiller [tex]x[/tex] rollen som navnet på funksjonen din, ikke en variabel. Vi står fritt til å velge navn på variabelen, for eksempel [tex]x(t)[/tex] eller [tex]x(y)[/tex].
Lagt inn: 09/11-2011 19:57
av simher
greit da skjønner jeg hva som skal gjøres.
ble litt surr i notasjonen
men takk for hjelpen
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Lagt inn: 09/11-2011 19:59
av Nebuchadnezzar
Ikke noe problem
Øving 10 du holder på med?
Lagt inn: 10/11-2011 10:04
av Integralen
Med den betingelsen som er gitt i oppgaven får man:
[tex]x(t)=tan(\frac{\pi}{4}+t)[/tex]