matematikk.net

Hei.
Jeg sliter med at jeg ikke husker noe av dette siden videregående, og finner ikke ut hvordan jeg skal løse oppgavene. Setter stor pris på hjelp!
(Jeg kommer ikke til å direkte kopiere svarene dere gir, men bruke dem som utgangspunkt for å forstå hva jeg skal gjøre).

Ta utgangspunkt i den geometriske rekken:
g(x)=[symbol:sum] 0≤n<∞, x^n = 1/ (1-x)
som konvergerer absolutt når |x|<1

a) finn Maclauring-rekken (Taylor-rekken omkring x=0) til funksjonen
h(x)=(2x^19)/(1-x)^3 ved manipulasjon av den geometriske rekken ovenfor. Hunt: Regn først ut (d/dx)(1/(1-x)). For hvilke x konvergerer denne nye rekken?

b) Finn den funksjonen som har Maclaurin-rekke
g(x)=[symbol:sum] 0≤n<∞, (x^n)/(n+1)
Hint: Regn først ut (1/x) [symbol:integral] x,0 f^n dt

c) Vis at integralet [symbol:integral] x,0 g(-t) dt leder til Maclaurin-rekken for funksjonen ln(1+x)

d) bruk det faktum at 3=(3/2)/(1/2)=(1+(1/2))/(1-(1/2)) til å beregne tre stadig bedre tilnærminger til ln3 ved hjelp av Maclaurin-rekkene av grad 3, 5, og 7 for ln(1+x) med x= [symbol:plussminus] (1/2). Til sammenligning er følgende verdi korrekt til 4 desimaler: 1,0986


HJELP MEG!! (og tusen hjertelig takk på forhånd)

Legg merke til at

[tex]\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} \left( \frac{1}{1-x} \right) = \frac{2}{(1-x)^3}[/tex]

Altså får vi

[tex]h(x)=\frac{2x^{19}} {(1-x)^3} = x^{19} \left[ \frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} \left( \frac{1}{1-x} \right) \right] [/tex]

Kanskje dette kan brukes til å løse første oppgave?