Hei,
For det første er jeg litt usikker på hva "principal ideal" oversetter til, i emnetittelen prøvde jeg med "hovedideal".
Trodde jeg hadde forstått dette nokså greit, men den gang ei. Det er hovedsaklig over polynomringer det begynner å skralte litt. For å klare litt opp i teorien har jeg noen spørsmål:
La oss si vi jobber over Z[x], altså polynom med heltallskoeffisienter. Jeg har ikke noe problemer dersom du spør meg om ideal i Z, men ideal i polynomringen over Z er derimot hakket verre for meg. Vil det da være polynom med koeffisienter i en undergruppe av Z, eller er det polynomene selv som skal danne undergruppestrukturen?
Så skal det også være lukket under multiplikasjon av vilkårlige elementer i Z[x], men polynom ganget med et polynom vil jo alltid være et polynom? Spørsmålet blir da det samme som over, er det koeffisientene eller polynomene som er det viktige her?
Så hovedideal. Det er en skilnad mellom venstre, høyre og bare hovedideal av en ring R med enhet:
[tex](a)_l = \{ra | r \in R\}[/tex]
[tex](a)_r = \{ar | r \in R\}[/tex]
[tex](a) = \{\sum_{endelig sum} r_ias_i |r_i,s_i \in R\}[/tex]
Er det her kun det tosidige idealet som er en sum, altså at de andre mengdene utgjøres kun av multipler, mens du i tosidige også kan summere multipler fra begge sider? Hvor kommer denne summeringen fra? Vil det i kommutative ringer kun være tosidige ideal, eller anses tosidig ideal som summen av høyre og venstre ideal?
Så over til hovedideal i polynomringer. Hvis en ser på hovedidealet generert av (x) i Z[x], og tar definisjonen over. Vil det da si at (x) er mengden med polynom i Z[x] som alle har konstant lik 0? Genererer (1) hele Z[x]?
Jeg er klar over at det ble et langt innlegg med mange spørsmål, men jeg håper noen snille sjeler vil ta seg litt tid til å klarne opp i hodet til en ung mann med stigende eksamensnerver.
Takk.
Primiske og hovedideal (og diverse algebra)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
"Vil det da være polynom med koeffisienter i en undergruppe av Z, eller er det polynomene selv som skal danne undergruppestrukturen? "
Det er polynomene selv som utgjør idealet I, og (I,+) skal være en undergruppe av (Z[X],+).
Så for ethvert polynom p i Z[X] og polynom q i idealet I, så skal pq være et polynom i I.
"Er det her kun det tosidige idealet som er en sum, altså at de andre mengdene utgjøres kun av multipler, mens du i tosidige også kan summere multipler fra begge sider? Hvor kommer denne summeringen fra?"
Ja, det er slik det tosidige hovedidealet er definert. For kommutative ringer er jo alle de tre definisjonene like, så da er det vel greiest å bruke den første.
"Vil det da si at (x) er mengden med polynom i Z[x] som alle har konstant lik 0? Genererer (1) hele Z[x]"
Ja.
Hva for fag er dette?
Det er polynomene selv som utgjør idealet I, og (I,+) skal være en undergruppe av (Z[X],+).
Så for ethvert polynom p i Z[X] og polynom q i idealet I, så skal pq være et polynom i I.
"Er det her kun det tosidige idealet som er en sum, altså at de andre mengdene utgjøres kun av multipler, mens du i tosidige også kan summere multipler fra begge sider? Hvor kommer denne summeringen fra?"
Ja, det er slik det tosidige hovedidealet er definert. For kommutative ringer er jo alle de tre definisjonene like, så da er det vel greiest å bruke den første.
"Vil det da si at (x) er mengden med polynom i Z[x] som alle har konstant lik 0? Genererer (1) hele Z[x]"
Ja.
Hva for fag er dette?
Takk for svar!
Dette er vel egentlig "enkel" abstrakt algebra i sammenheng med kurset "Ringer og moduler".
Kan du utdype hvorfor det i kommutative ringer er slik at alle er like? Jeg kan se delen hvor høyre og venstre ideal sammenfaller, men ikke hvorfor det kun er summasjoner i tosidige ideal.
Da tror jeg at jeg forstår ting godt nok til å begynne på noe litt mer avansert.
Se på polynomringen over Z/(2) og idealet I=(x^3+x+1). Etter min forståelse av konseptet vil f.eks 0 åpenbart være i I, men også f.eks:
[tex]x^3+x+1 + g(x)(x^3+x+1)[/tex], hvor g(x) er et polynom i Z/(2)?
Hvordan skal jeg gå frem for å vise at dette idealet er et primisk ideal? Per definisjon betyr jo dette at hvis vi har to ideal A og B i polynomringen over Z/(2), slik at [tex]AB \subseteq I[/tex], så vi l[tex]A \subseteq I[/tex] eller [tex]B \subseteq I[/tex].
Går det an å vise dette fra definisjonen? Jeg sliter nemlig litt med å finne to slike ideal A og B.
Dette er vel egentlig "enkel" abstrakt algebra i sammenheng med kurset "Ringer og moduler".
Kan du utdype hvorfor det i kommutative ringer er slik at alle er like? Jeg kan se delen hvor høyre og venstre ideal sammenfaller, men ikke hvorfor det kun er summasjoner i tosidige ideal.
Da tror jeg at jeg forstår ting godt nok til å begynne på noe litt mer avansert.
Se på polynomringen over Z/(2) og idealet I=(x^3+x+1). Etter min forståelse av konseptet vil f.eks 0 åpenbart være i I, men også f.eks:
[tex]x^3+x+1 + g(x)(x^3+x+1)[/tex], hvor g(x) er et polynom i Z/(2)?
Hvordan skal jeg gå frem for å vise at dette idealet er et primisk ideal? Per definisjon betyr jo dette at hvis vi har to ideal A og B i polynomringen over Z/(2), slik at [tex]AB \subseteq I[/tex], så vi l[tex]A \subseteq I[/tex] eller [tex]B \subseteq I[/tex].
Går det an å vise dette fra definisjonen? Jeg sliter nemlig litt med å finne to slike ideal A og B.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Definisjonen av tosidig ideal er jo mengden av alle endelige summer på den formen. I en kommutativ ring er jo [tex]\sum r_ias_i=\sum ar_is_i=a\sum r_is_i=aq[/tex] for en q i R. Altså det samme som definisjonen av et (venstre)ideal.
Ok, vi har altså polynomringen der alle koeffisientene er 0 eller 1.
(g(x)+1)(x^3+x+1) og 0 vil være i I, ja.
For at I skal være et primideal må , dersom qr i I, enten q eller r være i I. Det er vel nok å vise at x^3+x+1 ikke kan faktoriseres i polynomer som ikke er i I.
Ok, vi har altså polynomringen der alle koeffisientene er 0 eller 1.
(g(x)+1)(x^3+x+1) og 0 vil være i I, ja.
For at I skal være et primideal må , dersom qr i I, enten q eller r være i I. Det er vel nok å vise at x^3+x+1 ikke kan faktoriseres i polynomer som ikke er i I.
Aha. Det var jo egentlig ganske opplagt.
Dette må vel da gjelde for alle q og alle r? Hvordan følger det fra dette at det er nok å vise at polynomet ikke er faktoriserbart? Godt mulig jeg bare ikke ser det gjennom frustrasjonen.
Vil det i det hele tatt være polynom av lavere grad enn 3 i I?
Videre, er det slik at alle irredusible polynom over den bestemte ringen danner primiske hovedideal?
Dette må vel da gjelde for alle q og alle r? Hvordan følger det fra dette at det er nok å vise at polynomet ikke er faktoriserbart? Godt mulig jeg bare ikke ser det gjennom frustrasjonen.
Vil det i det hele tatt være polynom av lavere grad enn 3 i I?
Videre, er det slik at alle irredusible polynom over den bestemte ringen danner primiske hovedideal?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
La [tex]qr\in I[/tex]. Da er [tex]qr=p(x)(x^3+x+1)[/tex] for et polynom [tex]p(x)\in Z/(2)[X][/tex]. Dersom [tex]x^3+x+1[/tex] er irredusbel over Z/(2) vil enten q eller r være på formen [tex]g(x)(x^3+x+1)[/tex], og I er dermed et primideal. (Dersom x^3+x+1 er redusibelt kan vi jo finne en q og en r (der q og r ikke er 1) slik at qr=x^3+x+1, og da vil hverken q eller r være i I, og da er I ikke prim.)
Hvis idealet er generert av et enkelt irredusibelt polynom, er det primisk. Det gjelder vel ikke hvis idealet er generert av flere irredusible polynomer.
"Vil det i det hele tatt være polynom av lavere grad enn 3 i I?"
0 vil jo være med, men ingen andre med grad mindre enn 3.
Hvis idealet er generert av et enkelt irredusibelt polynom, er det primisk. Det gjelder vel ikke hvis idealet er generert av flere irredusible polynomer.
"Vil det i det hele tatt være polynom av lavere grad enn 3 i I?"
0 vil jo være med, men ingen andre med grad mindre enn 3.
Sist redigert av Gustav den 15/11-2011 00:57, redigert 1 gang totalt.
a(x)=x^3 + x + 1 er irredusibelt over Z/(2). Anta at a(x) er redusibelt. Da må det eksistere en lineær faktor (x-c) slik at a(x)=h(x)(x-c). Siden a(0)=1 og a(1)=1 eksisterer det ikke noen slik faktor og vi har en kontradiksjon. a(x) må derfor være irredusibelt. Som ved det du skrev over burde være nok. Ergelig å se seg så blind på problemene. Blir bare utrolig frustrert og demotivert.
Enda et problem:
Vis at [tex]I=(x^3-x-1)[/tex] i polynomringen [tex]R=Z/(3) [x][/tex] er et primideal.
Siden R har en enhet vil alle maksimalideal være primideal. Vi viser derfor at I er et maksimalideal. At et ideal I er maksimalt er ekvivalent med at det finnes en x i R som ikke er i I slik at: [tex]I+(x)=R[/tex].
Se på elementet [tex]g(x)=2x^3-2x-1[/tex] i R. a er ikke inneholdt i I siden det finnes et element h(x) slik at [tex]h(x)(x^3-x-1)=(2x^3-2x-1)[/tex]. Anta at det gjorde det. Da må h(x) ha grad 0, i.e. h(x) er en konstant [tex]c \in Z/(3)[/tex] og vi har [tex]cx^3-cx-c=2x^3-2x-1[/tex]. Vi ser at det ikke finnes noen slik c og derfor er ikke g(x) inneholdt i I.
Se på [tex]I+(g(x))=(x^3-x-1)+(2x^3-2x-1)=(3x^3-3x-2)=(-2)=(1)=R[/tex]. Vi har derfor vist at I er et maksimalideal og derfor et primideal.
Ser dette greit ut?
Enda et problem:
Vis at [tex]I=(x^3-x-1)[/tex] i polynomringen [tex]R=Z/(3) [x][/tex] er et primideal.
Siden R har en enhet vil alle maksimalideal være primideal. Vi viser derfor at I er et maksimalideal. At et ideal I er maksimalt er ekvivalent med at det finnes en x i R som ikke er i I slik at: [tex]I+(x)=R[/tex].
Se på elementet [tex]g(x)=2x^3-2x-1[/tex] i R. a er ikke inneholdt i I siden det finnes et element h(x) slik at [tex]h(x)(x^3-x-1)=(2x^3-2x-1)[/tex]. Anta at det gjorde det. Da må h(x) ha grad 0, i.e. h(x) er en konstant [tex]c \in Z/(3)[/tex] og vi har [tex]cx^3-cx-c=2x^3-2x-1[/tex]. Vi ser at det ikke finnes noen slik c og derfor er ikke g(x) inneholdt i I.
Se på [tex]I+(g(x))=(x^3-x-1)+(2x^3-2x-1)=(3x^3-3x-2)=(-2)=(1)=R[/tex]. Vi har derfor vist at I er et maksimalideal og derfor et primideal.
Ser dette greit ut?
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Igjen er jo x^3-x-1=x^3+2x+2 irredusibelt over Z/(3), så (x^3-x-1) er et primideal.
"At et ideal I er maksimalt er ekvivalent med at det finnes en x i R som ikke er i I slik at I+(x)=R:"
Hm, hvor har du denne definisjonen av et maksimalt ideal fra? Ser ut til at selve resonnementet ditt stemmer for øvrig.
"At et ideal I er maksimalt er ekvivalent med at det finnes en x i R som ikke er i I slik at I+(x)=R:"
Hm, hvor har du denne definisjonen av et maksimalt ideal fra? Ser ut til at selve resonnementet ditt stemmer for øvrig.
Ja, det er jo det. Men oppgaven ba meg spesifikt om å vise at det var et maksimalideal og derfor primideal.
Har det fra boken.
La R være en ring og A et ideal slik at A er ulik R. La [tex]B \supseteq A[/tex]. Hvis B er ulik A har vi at for et element x i B, men ikke i A er [tex]A+(x)=R[/tex], men siden [tex]B \supseteq A+(x)=R[/tex] har vi at B=R og derfor er B et maksimalideal.
Litt usikker på denne også:
La P være et primideal i en ring R slik at R/P ikke har noen nilpotente elementer ulik null. Da er R/P et integritetsområde.
La [tex]\bar{x},\bar{y} \in R/P[/tex] og se på [tex]\bar{x}\bar{y}=0[/tex], men [tex]\bar{x}\bar{y} = \bar{xy} = xy+P=0[/tex]. Dette betyr at xy er i P og siden P er et primideal må vi ha at [tex]x \in P[/tex] eller [tex]y \in P[/tex]. Dette betyr at enten [tex]\bar{x}=0[/tex] eller at [tex]\bar{y}=0[/tex]. Med andre ord har R/P ingen nulldivisorer, og er derfor et integritetsområde.
Er dette nok? Jeg har jo ikke brukt premisset om nilpotente elementer ...
Har det fra boken.
La R være en ring og A et ideal slik at A er ulik R. La [tex]B \supseteq A[/tex]. Hvis B er ulik A har vi at for et element x i B, men ikke i A er [tex]A+(x)=R[/tex], men siden [tex]B \supseteq A+(x)=R[/tex] har vi at B=R og derfor er B et maksimalideal.
Litt usikker på denne også:
La P være et primideal i en ring R slik at R/P ikke har noen nilpotente elementer ulik null. Da er R/P et integritetsområde.
La [tex]\bar{x},\bar{y} \in R/P[/tex] og se på [tex]\bar{x}\bar{y}=0[/tex], men [tex]\bar{x}\bar{y} = \bar{xy} = xy+P=0[/tex]. Dette betyr at xy er i P og siden P er et primideal må vi ha at [tex]x \in P[/tex] eller [tex]y \in P[/tex]. Dette betyr at enten [tex]\bar{x}=0[/tex] eller at [tex]\bar{y}=0[/tex]. Med andre ord har R/P ingen nulldivisorer, og er derfor et integritetsområde.
Er dette nok? Jeg har jo ikke brukt premisset om nilpotente elementer ...
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Da er det kanskje flere måter å vise det på? I så fall tror jeg kanskje jeg gjorde det enklest mulig.
Ettersom jeg gjør oppgavene er det ikke alltid jeg er sikker på om det holder. Om det ikke ville vært helt forkastelig av meg å okkupere en hel tråd med spørsmål om ringer og moduler håper jeg gjerne at jeg kan gjøre dette. Alternativet er å lage mange mindre tråder, men det blir så uoversiktlig.
"Let R be a ring, and e an idempotent element of R.
(a) Show that 1-e is also an idempotent element of R, and that
[tex]R=Re \oplus R(1-e)[/tex] as left ideals."
Trivielt å vise at (1-e) også er idempotent. Skal vise den siste likheten. Dette er en likhet mellom mengder og vi må derfor vise at de er undermengder av hverandre.
La [tex]r \in R[/tex]. Siden [tex]re+r(1-e)=r[/tex] for alle [tex]r \in R[/tex] må vi ha at [tex]R \subseteq Re \oplus R(1-e)[/tex]. La nå [tex]x \in Re \oplus R(1-e)[/tex] da har vi at det finnes en [tex]r \in R[/tex] slik at: [tex]x = re + r(1-e) = r[/tex] og vi har at [tex]x=r[/tex] for alle [tex]x \in Re \oplus R(1-e)[/tex] som betyr at [tex]Re \oplus R(1-e) \subseteq R[/tex] og vi er ferdige.
Grunnen til at jeg er usikker er på grunn av likheten i argumentasjonen begge veier. Kanskje ikke noen god grunn til å være usikker, men jeg er nå det. Og igjen har jeg ikke brukt hva oppgaven hinter om.
Ettersom jeg gjør oppgavene er det ikke alltid jeg er sikker på om det holder. Om det ikke ville vært helt forkastelig av meg å okkupere en hel tråd med spørsmål om ringer og moduler håper jeg gjerne at jeg kan gjøre dette. Alternativet er å lage mange mindre tråder, men det blir så uoversiktlig.
"Let R be a ring, and e an idempotent element of R.
(a) Show that 1-e is also an idempotent element of R, and that
[tex]R=Re \oplus R(1-e)[/tex] as left ideals."
Trivielt å vise at (1-e) også er idempotent. Skal vise den siste likheten. Dette er en likhet mellom mengder og vi må derfor vise at de er undermengder av hverandre.
La [tex]r \in R[/tex]. Siden [tex]re+r(1-e)=r[/tex] for alle [tex]r \in R[/tex] må vi ha at [tex]R \subseteq Re \oplus R(1-e)[/tex]. La nå [tex]x \in Re \oplus R(1-e)[/tex] da har vi at det finnes en [tex]r \in R[/tex] slik at: [tex]x = re + r(1-e) = r[/tex] og vi har at [tex]x=r[/tex] for alle [tex]x \in Re \oplus R(1-e)[/tex] som betyr at [tex]Re \oplus R(1-e) \subseteq R[/tex] og vi er ferdige.
Grunnen til at jeg er usikker er på grunn av likheten i argumentasjonen begge veier. Kanskje ikke noen god grunn til å være usikker, men jeg er nå det. Og igjen har jeg ikke brukt hva oppgaven hinter om.
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Hmm, er dette lov da? At [tex]x \in Re \oplus R(1-e)[/tex] betyr vel ikke nødvendigvis at det finnes én [tex]r[/tex] slik at [tex]x = re + r(1-e) = r[/tex]? Mulig jeg bommer nå (lenge siden jeg hadde dette), men betyr det ikke snarere at det finnes [tex]r_1, r_2 \in R[/tex] slik at [tex]x = r_1e + r_2(1-e)[/tex].wingeer skrev:La nå [tex]x \in Re \oplus R(1-e)[/tex] da har vi at det finnes en [tex]r \in R[/tex] slik at: [tex]x = re + r(1-e) = r[/tex] og vi har at [tex]x=r[/tex] for alle [tex]x \in Re \oplus R(1-e)[/tex] som betyr at [tex]Re \oplus R(1-e) \subseteq R[/tex] og vi er ferdige.
Du må vise at både [tex]R=Re+R(1-e)[/tex] og at [tex]Re\cap R(1-e)=\{0\}[/tex] ( http://planetmath.org/encyclopedia/Inte ... ctSum.html )
Som SonGoku sier: Hvis [tex]x\in Re+R(1-e)[/tex] betyr det at [tex]x=r_1e+r_2(1-e)[/tex] for [tex]r_1,r_2\in R[/tex]. Det er vel ganske opplagt at x er i R siden ringen er lukket under addisjon og multiplikasjon (samt distributiv).
Anta at x er et element som er med i både Re og R(1-e).
Altså er [tex]x=r_1e=r_2(1-e)[/tex]. Vi må vise at [tex]x=0[/tex].
Hint: bruk at e er idempotent.
Som SonGoku sier: Hvis [tex]x\in Re+R(1-e)[/tex] betyr det at [tex]x=r_1e+r_2(1-e)[/tex] for [tex]r_1,r_2\in R[/tex]. Det er vel ganske opplagt at x er i R siden ringen er lukket under addisjon og multiplikasjon (samt distributiv).
Anta at x er et element som er med i både Re og R(1-e).
Altså er [tex]x=r_1e=r_2(1-e)[/tex]. Vi må vise at [tex]x=0[/tex].
Hint: bruk at e er idempotent.
Ja, så klart. De trenger jo ikke være like, men det ordner seg jo fint uansett som plutarco påpeker.
Hvis jeg har forstått rett så har jeg nå vist at R er en sum av disse to venstre idealene. Så må jeg vise at snittet av disse to mengdene er tomme for å vise at det er en direkte sum?
Uansett:
Anta at [tex]x \in Re \cap R(1-e)[/tex]. Dette betyr at [tex]x=r_1e=r_2(1-e)[/tex] som gir at [tex]x(1-e)=x-xe=r_2(1-e)[/tex], men [tex]x=r_2(1-e)[/tex], så [tex]x-xe=r_2(1-e) -xe = r_2(1-e) \Leftrightarrow xe=0[/tex], så vi har at x=0 dersom [tex]e\neq0[/tex].
Hvis jeg har forstått rett så har jeg nå vist at R er en sum av disse to venstre idealene. Så må jeg vise at snittet av disse to mengdene er tomme for å vise at det er en direkte sum?
Uansett:
Anta at [tex]x \in Re \cap R(1-e)[/tex]. Dette betyr at [tex]x=r_1e=r_2(1-e)[/tex] som gir at [tex]x(1-e)=x-xe=r_2(1-e)[/tex], men [tex]x=r_2(1-e)[/tex], så [tex]x-xe=r_2(1-e) -xe = r_2(1-e) \Leftrightarrow xe=0[/tex], så vi har at x=0 dersom [tex]e\neq0[/tex].
M.Sc. Matematikk fra NTNU.
Vel, tomt er det jo ikke siden det består av den additive identiteten, 0.wingeer skrev:
Hvis jeg har forstått rett så har jeg nå vist at R er en sum av disse to venstre idealene. Så må jeg vise at snittet av disse to mengdene er tomme for å vise at det er en direkte sum?
Det er vel ikke gitt at R er et integritetsområde, så den siste konklusjonen gjelder ikke, selv om [tex]e\neq 0[/tex].Uansett:
Anta at [tex]x \in Re \cap R(1-e)[/tex]. Dette betyr at [tex]x=r_1e=r_2(1-e)[/tex] som gir at [tex]x(1-e)=x-xe=r_2(1-e)[/tex], men [tex]x=r_2(1-e)[/tex], så [tex]x-xe=r_2(1-e) -xe = r_2(1-e) \Leftrightarrow xe=0[/tex], så vi har at x=0 dersom [tex]e\neq0[/tex].