Har en sak her som jeg kunne trenge noen tips på.
Ved å undersøke determinanten til koeffisientmatrisen, vis a the følgende systemet har en ikke-triviell løsning, hvis og bare hvis,
x + y + αz = 0
x + y + βz = 0
αx + βy + x = 0
Determinanten til koeffisientmatrisen blir etter det jeg kan lik 2αβ - α^2 - β^2
Der stopper mine tanker rundt oppgaven.
Determinanter & koeffisient matriser
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Det uttrykket for determinanten du har kommet frem til, er korrekt. Følgende omskrivning av determinanten skulle gjøre det enkelt å løse denne oppgaven:
2αβ -α[sup]2[/sup] -β[sup]2[/sup] = -(α - β)[sup]2[/sup].
2αβ -α[sup]2[/sup] -β[sup]2[/sup] = -(α - β)[sup]2[/sup].
-
Algebra
Hm - å?
Tror det er en "link" jeg mangler mellom determinanten og ikke-triviell-løsning.
Tror det er en "link" jeg mangler mellom determinanten og ikke-triviell-løsning.
-
Gjest
Hallo igjen!
Ifølge et kjent teorem inne lineæralgebraen har dette likningssystemet kun den trivielle løsningen x=y=0 hvis og bare hvis determinanten til koeffisientmatrisa er forskjellig fra 0. Så for at den skal ha en ikke-triviell er en nødvendig (men ikke tilstrekkelig) betingelse at determinanten til koeffisientmatrisa er lik 0, dvs at -(α - β)[sup]2[/sup]. M.a.o må α=β. Settes dette inn i det opprinnelige likningssystemet, ser vi at får vi likningssystemet
x + y + αz = 0
αx + αy + z = 0.
Legger vi sammen disse to likningene, blir resultatet
(α+1)(x+y+z) = 0.
Altså må α=-1 eller x+y+z=0. Dersom α=-1, blir løsningen x=s, y=t og z=s+t. Hvis α<>-1, blir likningssystemet redusert til likningen
(α-1)(x+y) = 0.
Velges α=1, får vi løsningen x=s, y=t og z=-s-t. Hvis α<>1, blir løsningen x=s, y=-s og z=0.
Konklusjon: Dette likningssystemet har en ikke-triviell løsning hvis og bare hvis α= β.
Ifølge et kjent teorem inne lineæralgebraen har dette likningssystemet kun den trivielle løsningen x=y=0 hvis og bare hvis determinanten til koeffisientmatrisa er forskjellig fra 0. Så for at den skal ha en ikke-triviell er en nødvendig (men ikke tilstrekkelig) betingelse at determinanten til koeffisientmatrisa er lik 0, dvs at -(α - β)[sup]2[/sup]. M.a.o må α=β. Settes dette inn i det opprinnelige likningssystemet, ser vi at får vi likningssystemet
x + y + αz = 0
αx + αy + z = 0.
Legger vi sammen disse to likningene, blir resultatet
(α+1)(x+y+z) = 0.
Altså må α=-1 eller x+y+z=0. Dersom α=-1, blir løsningen x=s, y=t og z=s+t. Hvis α<>-1, blir likningssystemet redusert til likningen
(α-1)(x+y) = 0.
Velges α=1, får vi løsningen x=s, y=t og z=-s-t. Hvis α<>1, blir løsningen x=s, y=-s og z=0.
Konklusjon: Dette likningssystemet har en ikke-triviell løsning hvis og bare hvis α= β.