Integrere

[Integralen]

Oppgave 9.2.6

Løs integralet [tex]\: \int sqrt{x^2-3} \: [/tex], ved å substituere [tex]\: x=sqrt{3}cosh(u)[/tex]

Prøvde slik men sjekket med wolframalpha og svarene stemte ikke med hverande, så hvor er feilen og hvordan blir det riktig?:

[tex]x=\sqrt{3}cosh(u)[/tex]

da er:

[tex]u=arcosh(\frac{x}{\sqrt{3}})[/tex]

[tex]\sqrt{3} \int sqrt{3cosh^2(u)-3} \: sinh(u) du[/tex]

[tex]cosh^2(u)-sinh^2(u)=1[/tex]

[tex]sinh(u)=\sqrt{cosh^2(u)-1}[/tex]

[tex]3 \int sinh^2(u) du=\frac{3sinh(2u)-6u}{4}+C=\frac{3\sqrt{cosh^2(2arcosh(\frac{x}{\sqrt{3}}))-1}-6arcosh(\frac{x}{\sqrt{3}})}{4}=\frac{2x\sqrt{(x^2-3)}-6arcosh(\frac{x}{\sqrt{3}})}{4}[/tex]

som er ulik dette:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... 5E2-3%29dx

?

På forhånd takk!

Edit: oppgave riktig løst.

[Nebuchadnezzar]

Har du prøvd å plotte svaret ditt mot det wolfram gir?

Selv anbefaler jeg deg ikke å være så glad i wolfram lær deg heller et litt tyngre matteprogram. Her anbefaler jeg deg Maple =)

Man altså, virker som du gjør alt rett!

Svaret du får, kan du omskrive på en litt annen måte før du begynner å integrere. Nemlig å legge merke til at

[tex]3 \int \sinh^2(x) dx \, = \, \frac{3}{2}\left( \sinh(x)\cosh(x) - x \right) + C[/tex]

Dette er bare en liten omskrivning, og da er det lettere å gjøre tilbakesubstitusjonen.

[Integralen]

Wolframalpha funker fint den og har involvert omskrivningen du påpeker i mitt første innlegg,brukte at [tex]\:sin(2u)=2sinucosu \:[/tex],for å forkorte. =)

Har og sammenlignet med løsningen av integralet over med løsningen av det jeg endte med,plottet inn med x=2 og fikk false:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... %2B2%29%29

Hvis du vil finne ut av det:Prøv å sett tilbake for u og se om du ender opp med det w.f. endte med eller det jeg endte med.Bruk til slutt eksempel tallet 2 for å sammenligne ditt svar med w.a.


Hvor er feilen

[Nebuchadnezzar]

Oppgave 9.2.6

[tex]3 \int sinh^2(u) du \neq \frac{3sinh(2u)-6u}{4}+C[/tex]

På forhånd takk!

[Integralen]

Oppgave 9.2.6

[tex]3 \int sinh^2(u) du \neq \frac{3sinh(2u)-6u}{4}+C[/tex]

På forhånd takk!

Det er ikke [tex]\: \neq \:[/tex] ifølge:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=3i ... %28u%29+du

[Integralen]

Det er riktig som jeg har regnet i mitt første innlegg.

Hvis man setter inn eksempel den nedre grensen lik 0 og den øvre grensen lik 1 også sammenligner svaret , da stemmer det.

Jeg sammenlignet feil: Satte inn x=2 i det ubestemte integralet samtidig som jeg hadde en ukjent konstant C.Dette førte til at høyre(svaret jeg fikk) og venstre(integralet) siden ikke stemte fordi så lenge man har C så hjelper det ikke å sette x=2, man vil uansett da få feil utslag så lenge C er ukjent mens man setter en viss tall for x for å sammenligne.

Det riktige blir å gjøre den om til en bestemt integral ved å installere øvre og nedre grensene.For så å sammenligne svarene, siden da er svarene komplette.

Dermed løst ved at dette:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... 4%29%29%5D

er lik dette:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... E2-3%29+dx

[Nebuchadnezzar]

[tex]\frac{3\sinh(2u)-6u}{4} \, = \, \frac{3}{4}\sinh(2u) - \frac{6}{4} = \frac{3}{4}\left[ 2\sinh(u)\cosh(u) \right] - \frac{3}{2}u [/tex]

[tex]\frac{3}{2}\left[ 2 \sinh(u) \cosh(u) -u \right ] [/tex]

[tex]u = \text{arccosh} \left( \frac{x}{\sqrt{3}}\right) [/tex]

[tex]\frac{3}{2}\left[ \sinh\left( \text{arccosh} \left( \frac{x}{\sqrt{3}}\right)\right) \cosh\left( \text{arccosh} \left( \frac{x}{\sqrt{3}}\right)\right) - \text{arccosh} \left( \frac{x}{\sqrt{3}}\right) \right ] [/tex]

[tex]\frac{3}{2}\left[ \sqrt{\left(\frac{x}{\sqrt{3}} \right )^2-1} \left( \frac{x}{\sqrt{3}}\right) -\text{arccosh} \left( \frac{x}{\sqrt{3}}\right) \right ] [/tex]

[tex]= \frac{3}{2}\left[ x \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{x^2}{3} -1} -\text{arccosh} \left( \frac{x}{\sqrt{3}}\right) \right] [/tex]

[tex]= \frac{3}{2} \left[ x \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{x^2-3}}{\sqrt{3}} -\text{arccosh} \left( \frac{x}{\sqrt{3}}\right) \right][/tex]

[tex]= \frac{x}{2}\sqrt{x^2-3} - \frac{3}{2}\text{arccosh} \left( \frac{x}{\sqrt{3}}\right)[/tex]

Og resten orker jeg ikke, du får ta det om du ønsker. Du får ta dette med ei klype salt. Snart jul vettu. Herfra bruker du bare at

[tex]\text{arccosh}=\log\left(x+sqrt{x^2-1}\right)[/tex]

Siden vi vet at [tex]x[/tex] er positiv.

[Integralen]

Oppgaven ble foresten korekt løst i mitt første innlegg.Men takk for at du bidro med ln funksjonen.

Edit: Innlegg om religion har ingenting her på forumet å gjøre.

[Magnus]

Javel, men religion har ingenting på dette forumet å gjøre.