matematikk.net

Vi vet at :

[tex]cosh(arcosh(x))=x[/tex]

[tex]cosh(arcosh(x^2))=x^2[/tex]

Men når vi begynner å sette inn tall foran [tex]\: arcosh \:[/tex]
da skjer det plutselig endringer, eksempel:

[tex]cosh(2arcosh(x))=2x^2-1[/tex]

[tex]cosh(3arcosh(x))=4x^3-3x[/tex]

[tex]cosh(4arcosh(x))=8x^4-8x^2+1[/tex]

[tex]cosh(5arcosh(x))=16x^5-20x^3+5x[/tex]


Hva er egentlig regelen for å regne ut:

[tex]cosh(b \: arcosh(x)) \quad[/tex]

der [tex]\: b \:[/tex] er et tall



På forhånd takk!

Nøkkelen her er nok å bruke reglene

[tex]\cosh(a+b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b[/tex]
[tex]\sinh(a+b) = \cosh a \sinh b + \sinh a \cosh b[/tex]

Disse gir blant annet at

[tex]\cosh(2a) = \cosh(a+a) = \cosh a \cosh a + \sinh a \sinh a = (\cosh a)^2 + (\sinh a)^2 = 2(\cosh a)^2 - 1[/tex]

Dette kan brukes til å finne ut at

[tex]\cosh(2\cosh^{-1} x) = 2(\cosh(\cosh^{-1} x))^2 - 1 = 2x^2 - 1[/tex]

Hvis du fortsetter slik med 3, 4, osv. og ser noe mønster, kan det hende at du kan tippe på en generell formel som så kan vises ved induksjon. Føler imidlertid på meg at det kan bli litt skittent.