Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Jeg sitter og forbereder meg til å holde et foredrag om bevisets vesen og utvikling fra antikken og fram til i dag. Lurte på om noen hadde noen tips om bra sider på Internett, som behandler dette temaet. Sidene kan gjerne være på engelsk, da jeg skal holde foredraget på engelsk.
Av bøker, så har jeg tilgang på "A history of Mathematics" av Victor J. Katz, og bøkene til Audun Holme. Sånn sett, så har jeg for så vidt kilder nok, men skulle gjerne hatt tilgang på noen som har tatt for seg akkurat bevisene i tillegg. Ellers blir det mye blaing i bøker.
All hjelp er god hjelp.
PS: Epokene med Egypterne/Babylonerne og grekerne i oldtiden, har jeg relativt god kontroll på. Er i forhold til nyere tid, at jeg synes det er vanskeligere å plukke ut de viktige begivenhetene i forhold til beviser.
"Det umulige er bare en midlertidig arbeidshypotese" (A. Næss)
Vel...om viktige beviser bør man jo iallefall ha med Abels bevis for 5.gradsligninger, og Wiles' løsning på Fermats siste Teorem.
De brukte kanskje ikke mye ny bevisteknikk, men det er likefullt berømte beviser fra matematikken. Ellers har vi jo fundamentalteoremene innen forskjellige grener av matematikken, og også mange andre viktige beviser...du rekker neppe å nevne alle:P
Vel...har du god tid kan du ta beviset for den generelle Cauchy-Schwarz-ulikheten. Det er flere måter å gjøre det på, men den ene metoden er så elegant, tror det er det fineste beviset jeg vet av. Enhver seriøs matematiker har jo et favoritt-bevis:P
hehe...selvfølgelig. Skal absolutt se på det. Hvilken metode tenkte du på?
Men er også interessert i litt mer generelle tips om når det er omveltninger i måter å føre beviser på. Har planer om å legge opp foredraget med utviklingen i tankegang rundt bevisformer, for så å spe på med eksempler.
Forresten... hva betyr egentlig finitary methods og infinitary methods? Verken den engelske ordboken, eller det matematiske leksikonet mitt på engelsk, gir svar på det. Tar jeg helt feil, dersom jeg tenker at finitary bevis er omtrent det samme som direkte bevis, og infinitary er et kontrapositivt bevis?
"Det umulige er bare en midlertidig arbeidshypotese" (A. Næss)
Det finnes jo mange typer bevis, f.eks. direkte og indirekte(kontrapositive) bevis, induksjonsbevis, motsigelsesbevis (ad-absurdumbevis), eksistensbevis og bevis ved moteksempel. En ide kan jo være å utdype noen av disse bevistypene og gi et eller flere eksempel på hver bevistype du velger å omtale.
* To klassiske og elementære motsigelsesbevis er bevisene for at det finnes uendelig mange primtall og at [rot][/rot]2 er irrasjonal.
* Induksjon brukes gjerne til å verifisere gyldigheten av formler som involverer heltall. Et eksempel er formelen
* Et eksempel på et eksistensbevis er W.H. Mills bevis fra 1947 for at det eksisterer et positivt reelt tall r slik at funksjonen f(n)=[r[sup]3^n[/sup]] , der n er et naturlig tall, bare genererer primtall. Dette beviset er et rent eksistensbevis i den forstand at ingenting er kjent om den faktiske verdien av r.
* Et kjent eksempel på bevis ved moteksempel er følgende hypotese av Euler: Intet n-te potens tall (dvs. tall på formen m[sup]n[/sup] der m og n>1 er et naturlig tall) kan uttrykkes som en sum av mindre enn n n-te potenstall. F.eks. er 353[sup]4[/sup] = 30[sup]4[/sup] + 120[sup]4[/sup] + 272[sup]4[/sup] + 315[sup]4[/sup]. I 1968 fant Parkin og Lander følgende moteksempel:
Dette moteksemplet viser altså at Euler hypotese var feil.
* Beviset for "firefargeproblemet" er et annet kjent bevis i matematikken. Dette beviset ble publisert i 1976 av Appel og Haken. Dette beviset var spesielt i den forstand at det baserte seg på et dataprogram som det tok 1200 timer å kjøre. Mange matematikere hadde vanskelig for å akseptere dette som et logisk stringent bevis. Disse skeptikerne hadde innvendinger som at det kunne skje feil underveis i kjøringa av programmet eller at det var umulig å kontrollere beviset i detalj (slik man kan med bevis som er skrevet ned på papir). Dette beviset ga grobunn for en prinsipiell og filosofisk debatt om hvilke krav/kriterier man kan stille til et matematisk bevis. (Hvis du er interessert i å lese mer om firefargeproblemet, kan du f.eks. lese om dette i Kunnskapsforlagets matematikkleksikon.)
Må innrømme at jeg ble litt nysgjerrig på "firefargeproblemet", men nå ser jeg at professorren min har begrenset foredraget opp til og med Gödel, så da faller vel det utenfor. Kan jo likevel nevne det på slutten om det blir tid.
"Det umulige er bare en midlertidig arbeidshypotese" (A. Næss)
Takk igjen for alle gode råd. Har nå holdt framlegget, og fikk god tilbakemelding på det.
Jeg valgte å ta for meg forskjellige epoker i historien, og typer av beviser som oppstod der med noen eksempler. Brukte blant annet firefargerproblemet og moteksemplet til Appel og Haken, men også mange andre.
Det som likevel overrasker meg, er at ingen her inne nevnte Gödels ufullstendighetsteorem. Er han såpass ukjent blant matematikere? Resulatet hans sjokkerte jo hele den matematiske verden da det kom, og markerer et stort skille når det gjelder matematiske bevis.
"Det umulige er bare en midlertidig arbeidshypotese" (A. Næss)
Skal absolutt se på det. Hvilken metode tenkte du på? 
