matematikk.net

Løs integralet:

[tex]\int \frac{1}{a^2+cos^2(x)}dx[/tex]

ved hjelp av substitusjon [tex]\: u=tan (x) \:[/tex]


Hvordan?

Du kan vel begynne med å utføre substitusjonen?

Hva blir [tex]\cos^2 x[/tex] uttrykt ved [tex]u[/tex]?

[tex]u=tan(x)[/tex]

[tex]du=\frac{1}{cos^2(x)}dx[/tex]

hvordan skrive [tex]\: cos^2(x)\:[/tex]

uttrykt ved u?

Hva med å bruke at [tex]\tan\,x = \frac{\sin\,x}{\cos\,x}[/tex]?

[tex]tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}[/tex]

[tex]cos^2(x)=\frac{sin^2(x)}{tan^2(x)}[/tex]

[tex]sin^2(x)=1-cos^2(x)[/tex]

[tex]cos^2(x)+\frac{cos^2(x)}{tan^2(x)}=\frac{1}{tan^2(x)}[/tex]

[tex]cos^2(x)=\frac{1}{tan^2(x)+1}[/tex]

[tex]cos^2(x)=\frac{1}{1+u^2}[/tex]

[tex]\int \frac{1}{a^2 +cos^2(x)}dx[/tex]

[tex]u=tan(x)[/tex]

[tex]du=\frac{1}{cos^2(x)}dx[/tex]

[tex]\frac{1}{a^2} \int \frac{1}{(\frac{1}{\frac{1}{1+u^2}}+\frac{1}{a^2})} du=\frac{1}{(a^2+1)} \int \frac{1}{1+(\frac{au}{\sqrt{a^2+1}})^2}du=\frac{\arctan(\frac{atan(x)}{\sqrt{a^2+1}})}{a\sqrt{a^2+1}}+C[/tex]

q.e.d