Beklager den lange posten, men jeg følte jeg hadde behov for å skrive ned hele strømmen av tanker som ledet opp til dette spørsmålet for bedre å belyse hvor det kommer fra.
Med jevne mellomrom begynner jeg å tenke på de basale definisjonene og konseptene i matematikken som jeg lærte for lenge siden. I forsøkene mine på å komme på nøyaktig hvordan et konsept er definert, støter jeg som regel på problemer. Denne gangen: sykliske grupper, og nærmere bestemt hvordan det kan ha seg at [tex]\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle [/tex].
Intuitivt når jeg begynte å tenke på en syklisk gruppe, så jeg for meg at den ble generert ved gjentatt bruk av gruppe-oparasjonen på ett bestemt (utvalgt) element. For endelige grupper gav det mening at dette ville lage en gruppe siden endeligheten ville kreve at produktet (eller summen) av den gjentatte bruken av gruppe-operatoren før eller siden ville "wrappe"-rundt. Men for en uendelig syklisk gruppe ble det værre. For konkrethetens skyld, la oss se på gruppen [tex](\mathbb{Z},+)[/tex] (også siden alle uendelige sykliske grupper er isomorfe med denne).
Jeg visste at denne var generert av 1, men dette lot seg ikke gjøre med den intuitive forståelse av en syklisk gruppe som jeg hadde tenkt ut over. Da vil vi jo kun få generert de positive heltallene (inkludert 0), som ikke er noen gruppe.
Måtte dermed krype til korset slå opp definisjonen på Wikipedia:
[tex]G= \langle g \rangle = \{ g^n | n \in \mathbb{Z} \}[/tex] eller skrevet additivt: [tex]\{ n \cdot g | n \in \mathbb{Z} \}[/tex].
Da ble spørsmålet: Hva skal det bety å anvende gruppe-operasjonen et negativt antall ganger?
Det eneste som gir mening (for meg) er at det er definert som anvendelsen av det inverse elementet (av [tex]g[/tex], som vi hadde valgt ut til å generere gruppen vår) i gruppe-operasjonen. Men da får vi et nytt problem:
En syklisk gruppe er generert av ett element (Wikipedia), men man trenger både 1 og -1 for å generere [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Hvordan kan vi da si at [tex]\mathbb{Z}[/tex] er syklisk og ikke bare endelig-generert?
Det slår meg nå at det mest sannsynligvis er en pinlig ting jeg har oversett eller misforstått, men jeg har i hvertfall ikke klart å finne noe sted som viser ekplisitt hvordan 1 skulle være tilstrekkelig for å generere heltallene.
Hvordan kan 1 generere Z? (Z = <1>)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Såvidt jeg har forstått er den "generelle" definisjonen at sykliske grupper G er generert av et element [tex]g\in G[/tex] i tillegg til den inverse [tex]g^{-1}[/tex]. For endelige grupper er dette ekvivalent med at gruppen er generert av g, mens for uendelige grupper må man ta med det inverse.
Et poeng er jo at <g> skal være en gruppe og at g skal generere den. Den relevante egenskapen er at <g> skal være den minste undergruppen av G som inneholder g. Da må g^-1 naturligvis være med i <g>. At dette samstemmer med alle elementer g^n for heltallige n følger fra denne egenskapen. Dersom G er den minste gruppen som inneholder g, sier vi at g genererer G.
Tilsvarende blir det for flere genererende elementer.
Analogt for vektorrom er spennet til en mengde vektorer det minste underrommet som inneholder dem, noe som også kan skrives som alle lineærkombinasjoner av vektorene.
Tilsvarende blir det for flere genererende elementer.
Analogt for vektorrom er spennet til en mengde vektorer det minste underrommet som inneholder dem, noe som også kan skrives som alle lineærkombinasjoner av vektorene.