Vis at (integral)
Lagt inn: 19/01-2012 18:57
Hvordan løser man disse 3 oppgavene nevnt under?:
Oppgave 9.2.27
Sett [tex]\: a_n=\int_{n \pi}^{(n+1) \pi} \frac{sin(x)}{x} dx[/tex]
for n=1,2,3....
a) Vis at vi kan skrive
[tex]a_n=(-1)^n \int _{0}^{\pi} \frac{sin(x)}{n \pi +t}dt[/tex]
og at ulikheten [tex]\: |a_{n+1}| < |a_n|[/tex] holder.
b) Bruk ulikhetene
[tex]\frac{sin(t)}{(n+1)\pi} \: < \: \frac{sin(t)}{n\pi +t} \: \leq \: \frac{1}{n\pi+t}[/tex]
for [tex] \: 0<t<\pi[/tex]
til å vise
[tex]\frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{n+1} < |a_n|< ln(1+\frac{1}{n})< \frac{1}{n}[/tex].
c) Forklar hvorfor følgen {a_n} konvergerer og finn
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n[/tex]
På forhånd takk!
Oppgave 9.2.27
Sett [tex]\: a_n=\int_{n \pi}^{(n+1) \pi} \frac{sin(x)}{x} dx[/tex]
for n=1,2,3....
a) Vis at vi kan skrive
[tex]a_n=(-1)^n \int _{0}^{\pi} \frac{sin(x)}{n \pi +t}dt[/tex]
og at ulikheten [tex]\: |a_{n+1}| < |a_n|[/tex] holder.
b) Bruk ulikhetene
[tex]\frac{sin(t)}{(n+1)\pi} \: < \: \frac{sin(t)}{n\pi +t} \: \leq \: \frac{1}{n\pi+t}[/tex]
for [tex] \: 0<t<\pi[/tex]
til å vise
[tex]\frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{n+1} < |a_n|< ln(1+\frac{1}{n})< \frac{1}{n}[/tex].
c) Forklar hvorfor følgen {a_n} konvergerer og finn
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} a_n[/tex]
På forhånd takk!