matematikk.net

Jobber litt med Stor O-notasjon nå og lurer på om de to utsagnene er ekvivalente:

[tex]f(x) = O(g(x))[/tex] når [tex]x \to a[/tex]

og

[tex]\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = 0[/tex]

Har i hvert fall forstått at det er en viss sammenheng, men hvordan er denne helt presist? Uvant å jobbe med en slik notasjon som på en måte er en slags misbruk av det tradisjonelle likhetstegnet.

[tex]f(x)=\mathcal{O}(g(x))[/tex] når [tex]x\to a[/tex] betyr at det finnes konstanter [tex]M>0[/tex] pg [tex]\delta>0[/tex] slik at for alle [tex]|x-a|<\delta[/tex] gjelder [tex]|f(x)|\leq M|g(x)|[/tex].

Dermed stemmer det ikke nødvendigvis at grensen [tex]\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=0[/tex], men [tex]\lim_{x\to a} \sup|\frac{f(x)}{g(x)}|< \infty[/tex]. sup står for supremum og betyr minstre øvre grense. Det betyr at grenseverdien er bundet ovenfra, men ikke at den behøer å være lik null.

Kort sagt, f(x) vokser saktere enn en konstant multiplisert med g(x).

(Edit: Fiksa en feil.)

Du har vel bomma med ulikhetstegnet der, espen.

svinepels: det, kan meget gjerne være tilfellet, men husk at for eksempel [tex] x = O(x)[/tex].