Hvordan deriverer jeg y^2= y+x/y-x ?
Er det noen som kan hjelpe meg... pleaseeee!
Hilsen
gjest79
Derivasjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Du deriverer den implisitt.
Du vet at y er en funksjon av x så når du skal derivere y^2 deriverer du på vanlig måte, men så må du huske å gange med kjernen:
y^2= y+x/y-x
d/dx(y^2) = d/dx(y+x/y-x)
2ydy/dx = dy/dx + (y-xdy/dx)/y^2 - 1
Så er det bare å sette inn det punktet du skal finne den deriverte i.
Du vet at y er en funksjon av x så når du skal derivere y^2 deriverer du på vanlig måte, men så må du huske å gange med kjernen:
y^2= y+x/y-x
d/dx(y^2) = d/dx(y+x/y-x)
2ydy/dx = dy/dx + (y-xdy/dx)/y^2 - 1
Så er det bare å sette inn det punktet du skal finne den deriverte i.
-
Gjest
Jeg skjønner ikke helt hvordan jeg skal sette regnestyket opp? 
ingentingg skrev:Du deriverer den implisitt.
Du vet at y er en funksjon av x så når du skal derivere y^2 deriverer du på vanlig måte, men så må du huske å gange med kjernen:
y^2= y+x/y-x
d/dx(y^2) = d/dx(y+x/y-x)
2ydy/dx = dy/dx + (y-xdy/dx)/y^2 - 1
Så er det bare å sette inn det punktet du skal finne den deriverte i.
Skal stykket være
y^2= (y+x)/(y-x)
eller
y^2= y + (x/y) - x?
Du begynner slik som ingentingg
Skriv opp stykket
Før på d/dx på begge sider for å markere at du deriverer begge sider mhp x.
Utfør derivasjonen.
Få alle ledd med dy/dx over på den ene siden og alle andre ledd på den andre.
Faktoriser ut dy/dx.
Divider slik at dy/dx står helt alene på ene siden. Du har nå et eksplisitt uttrykk for den deriverte av y mhp x.
Hvis du skal finne den deriverte i et punkt setter du nå inn x- og y-verdiene i uttrykket som ikke inneholder dy/dx.
F.eks.
2ydy/dx = dy/dx + (y-xdy/dx)/y^2 - 1
dy/dx + (y-xdy/dx)/y^2 - 2ydy/dx =1
y^2dy/dx + y - xdy/dx -2y^3dy/dx =y^2
y^2dy/dx - xdy/dx -2y^3dy/dx =y^2 - y
dy/dx(y^2 - x - 2y^3) = y^2 - y
dy/dx=(y^2 - y)/(y^2 - x - 2y^3)
F.eks. i punktet (1,1):
dy/dx=(1^2 - 1)/(1^2 - 1 - 2*1^3)=(1-1)/([osv.])=0 Mao. et ekstremalpkt.
y^2= (y+x)/(y-x)
eller
y^2= y + (x/y) - x?
Du begynner slik som ingentingg
Skriv opp stykket
Før på d/dx på begge sider for å markere at du deriverer begge sider mhp x.
Utfør derivasjonen.
Få alle ledd med dy/dx over på den ene siden og alle andre ledd på den andre.
Faktoriser ut dy/dx.
Divider slik at dy/dx står helt alene på ene siden. Du har nå et eksplisitt uttrykk for den deriverte av y mhp x.
Hvis du skal finne den deriverte i et punkt setter du nå inn x- og y-verdiene i uttrykket som ikke inneholder dy/dx.
F.eks.
2ydy/dx = dy/dx + (y-xdy/dx)/y^2 - 1
dy/dx + (y-xdy/dx)/y^2 - 2ydy/dx =1
y^2dy/dx + y - xdy/dx -2y^3dy/dx =y^2
y^2dy/dx - xdy/dx -2y^3dy/dx =y^2 - y
dy/dx(y^2 - x - 2y^3) = y^2 - y
dy/dx=(y^2 - y)/(y^2 - x - 2y^3)
F.eks. i punktet (1,1):
dy/dx=(1^2 - 1)/(1^2 - 1 - 2*1^3)=(1-1)/([osv.])=0 Mao. et ekstremalpkt.
Kan du skrive opp oppgaven en gang til og gjøre det veldig klart hvordan den ser ut? Med paranteser osv.?
Kan du også skrive opp fasitsvaret?
Det kan være at oppgaven har blitt feiltolket her på forumet. Det kan også være feil i fasiten. Men det er litt vanskelig å kontrollere med den informasjonen vi har.
Kan du også skrive opp fasitsvaret?
Det kan være at oppgaven har blitt feiltolket her på forumet. Det kan også være feil i fasiten. Men det er litt vanskelig å kontrollere med den informasjonen vi har.
-
Gjest
Klart det! 
Her er oppgaven: y^2= (y+x) / (y-x)
Fasit: y'= y^2+1 / 3y^2-2yx-1
Her er oppgaven: y^2= (y+x) / (y-x)Fasit: y'= y^2+1 / 3y^2-2yx-1
Kent skrev:Kan du skrive opp oppgaven en gang til og gjøre det veldig klart hvordan den ser ut? Med paranteser osv.?
Kan du også skrive opp fasitsvaret?
Det kan være at oppgaven har blitt feiltolket her på forumet. Det kan også være feil i fasiten. Men det er litt vanskelig å kontrollere med den informasjonen vi har.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Ved å multiplisere med begge sider av funksjonallikningen med (y-x), får vi at y[sup]3[/sup] - xy[sup]2[/sup] - y - x = 0. Partiellderiveres denne mhp x, blir resultatet
3y[sup]2[/sup]y´- y[sup]2[/sup] - 2xyy´- y´- 1 = 0, dvs. at
y´(3y[sup]2[/sup] - 2xy - 1) = y[sup]2[/sup] + 1. Ergo blir
y´= (y[sup]2[/sup] + 1)/(3y[sup]2[/sup] - 2xy - 1).
3y[sup]2[/sup]y´- y[sup]2[/sup] - 2xyy´- y´- 1 = 0, dvs. at
y´(3y[sup]2[/sup] - 2xy - 1) = y[sup]2[/sup] + 1. Ergo blir
y´= (y[sup]2[/sup] + 1)/(3y[sup]2[/sup] - 2xy - 1).
Det er ikke partiellderivasjon. Skal partiellderivasjon benyttes blir fremgangsmåten en annen.
Hva er det som skjer når uttrykket blir forsøkt derivert med reglene for brøk? Jeg har forsøkt dette både med implisitt derivasjon og partiellderivasjon og får samme svaret, men ikke fasitsvaret. Jeg får derimot fasitsvaret med begge metoder når jeg eliminerer nevneren. Er det egentlig samme uttrykk, bare med forskjellig utseende?
Hva er det som skjer når uttrykket blir forsøkt derivert med reglene for brøk? Jeg har forsøkt dette både med implisitt derivasjon og partiellderivasjon og får samme svaret, men ikke fasitsvaret. Jeg får derimot fasitsvaret med begge metoder når jeg eliminerer nevneren. Er det egentlig samme uttrykk, bare med forskjellig utseende?
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
For det første har du rett i at det ikke er implisitt (og ikke partiell) derivasjon jeg har brukt til å finne uttrykket for y´.
Når det gjelder det andre du tar opp, nemlig om implisitt derivasjon av funksjonallikningen y[sup]2[/sup]=(y+x)/(y-x) (1) som gir y´=y/[y(y-x)[sup]2[/sup]+x] (2), er identisk med y´= (y[sup]2[/sup] + 1)/(3y[sup]2[/sup] - 2xy - 1) (3), er svaret "ja". Av funksjonallikningen (1) følger at x=(y[sup]3[/sup]-y)/(y[sup]2[/sup]+1). Ved å erstatte x med denne funksjonen i y i (2) og (3), får vi i begge tilfeller at y´=(y[sup]2[/sup]+1)[sup]2[/sup]/(y[sup]4 [/sup]+ 4y[sup]2[/sup] - 1).
Når det gjelder det andre du tar opp, nemlig om implisitt derivasjon av funksjonallikningen y[sup]2[/sup]=(y+x)/(y-x) (1) som gir y´=y/[y(y-x)[sup]2[/sup]+x] (2), er identisk med y´= (y[sup]2[/sup] + 1)/(3y[sup]2[/sup] - 2xy - 1) (3), er svaret "ja". Av funksjonallikningen (1) følger at x=(y[sup]3[/sup]-y)/(y[sup]2[/sup]+1). Ved å erstatte x med denne funksjonen i y i (2) og (3), får vi i begge tilfeller at y´=(y[sup]2[/sup]+1)[sup]2[/sup]/(y[sup]4 [/sup]+ 4y[sup]2[/sup] - 1).