matematikk.net

Tidligere har vi løst oppgaven med å finne ekstremalverdiene ( maks./min. verdiene) av en gitt funksjon når denne funksjonen oppfyller bestemte krav. Vi har også løst det tilsvarende problemet for funksjoner av flere variable. I alle disse oppgavene var det gitt en funksjon, og vi søkte etter det punktet som ga funksjonen ekstremalverdi.

I variasjonsregning er det ekstremalproblem av en helt annen type vi skal løse. Vi skal bestemme en ukjent funksjon slik at en bestemt størrelse , som får en bestemt verdi for hver gitt funksjon, får en ekstremalverdi.

Problemet som ga opphavet til variasjonsregningen ble formulert av Johann Bernoulli i 1696: La A og B være to punkter ( B ligger lavere enn A) . Anta at et materielt punkt kan bevege seg fra A til B bare under påvirkning av tyngdekraften (dvs. uten friksjon). Den korteste veien er selvfølgelig den rette linjen som forbinder punktene. Men hvilken kurve gir den korteste tiden? Oppgaven ble løst av Johann sammen med broren Jacob og dessuten av Newton og Leibnitz. Løsningen er den såkalte sykloiden. Denne egenskapen hos sykloiden har gitt den navnet den brakistokrone kurven. (Brachistos betyr kortest, og chronos betyr tid på gresk).