Spectral Decomposition

[Morgrothiel]

Hei,

har fått i oppgave å utøfre spectral decomposition på en matrise. Alt jeg har å støtte meg til er en forelesningsfoil, som dessverre ikke leder meg så veldig langt. Matrisen er

[tex]\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}[/tex]

Jeg er egentlig ganske blank, så jeg setter stor pris på alle innspill.

[svinepels]

Du kan begynne med å finne egenverdiene og egenvektorene til matrisen. Er du kjent med hvordan dette gjøres?

[Morgrothiel]

Jeg var det en gang, men for å være ærlig har jeg glemt det litt. Etter litt søk på nett har jeg etterhvert kommet fram til at egenverdiene er -1 og 1. Egenvektorene derimot, de sliter jeg litt mer med å komme fram til...

[svinepels]

La oss se på egenverdien 1 da. Den tilhørende egenvektoren [tex]\mathbf{x}[/tex] skal jo oppfylle

[tex]A \mathbf{x} = 1 \mathbf{x} = \mathbf{x}[/tex]

der [tex]A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}[/tex]

Flytter vi [tex]\mathbf{x}[/tex] over på venstre side og faktoriserer får vi

[tex](A-1I)\mathbf{x} = \mathbf{0}[/tex]

Dette er jo et ligningssystem som kan løses med hensyn på [tex]\mathbf{x}[/tex], enig?

[Morgrothiel]

Det er jeg enig i, ja.

Videre når jeg trekker fra identiteten får jeg at

[tex]\begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix}\textbf{x} = 0[/tex]

problemet er at jeg da får et likningssett hvor

-x1 + x2 = 0
x1 - x2 = 0

Og da får jeg bare at 0 = 0..?

[svinepels]

Den ene ligningen gir 0=0 ja, og slik vil det alltid være når man skal finne egenvektorer. Det finnes alltid uendelig mange egenvektorer tilknyttet en egenverdi, og disse danner et vektorrom; egenrommet. Det du kan gjøre er å finne en basis for egenrommet, og basisvektorene duger når du skal diagonalisere matrisen. I ditt tilfelle må egenvektorene som passer oppfylle

[tex]x_1 - x_2 = 0[/tex]

Altså er de på formen

[tex]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}[/tex]

der t kan variere fritt. x_1 og x_2 kan altså være hva som helst, så lenge de er like hverandre. Her blir det penest om man velger den egenvektoren med t = 1, altså vektoren (1,1).

Gjør tilsvarende med den andre egenvektoren.