matematikk.net

Trenger hjelp til statistikk gitt, må innrømme at jeg har jobbet lite med dette faget i det siste.

Skal vise at [tex]\hat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^n {Y_i}^2[/tex] er suffisient for [tex]\sigma^2[/tex], der [tex]Y_1, \ldots, Y_n[/tex] er normalfordelte med forventningsverdi lik 0 og varians [tex]\sigma_^2[/tex].

Disse vil ha pdf [tex]f_Y(y;\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}[/tex]

Begynner med å finne rimelighetsfunksjonen:

[tex]L(\sigma^2) = \prod_{i=1}^n f_Y(Y_i;\sigma^2) = \frac{1}{(2 \pi \sigma^2)^{n/2}} \; e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n Y_i^2[/tex]

Har skjønt det slik at denne skal kunne skrives som et produkt av pdf'en til [tex]\sigma^2[/tex] og en funksjon som kun avhenger av [tex]Y_i[/tex]. Lurer på hvordan jeg finner denne pdf'en. Prøvde å søke det opp, virket som om det hadde noe å gjøre med chi kvadratfordeling, som jeg ikke har hatt om ennå. Kan også godt hende at det er noe jeg har misforstått.

All hjelp og kommentarer settes pris på!

En stund siden jeg hadde statistisk estimeringsteori, men hvis jeg ikke husker feil er det du må vise at [tex]p(x|T(x)=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]^2=T_0;\sigma^2)[/tex] er uavhengig av [tex]\sigma^2[/tex].

pdfen du må bruke tror jeg blir som du sier, Chi-kvadrat med N frihetsgrader, [tex]p(s) = \frac{1}{2^{N/2}\Gamma(\frac N2)}e^{-\frac s2}s^{\frac N2-1}, s>0[/tex] der [tex]s=\sum_{n=0}^{N-1} x[n]^2/\sigma^2[/tex].

Hvis jeg har forstått det riktig skal du ende opp med noe ala [tex]\frac{1}{\pi^{\frac N2}}\delta(T(x)-T_0)/\frac{1}{\Gamma(\frac N2)} T_0^{\frac N2-1}[/tex]

og beklager notasjonen,enklere å bruke det jeg selv har bltt vant med

Går sikkert an å gå frem slik ja, men må finnes en lettere metode siden vi ikke har hatt om chi kvadrat-fordeling. Men takk!:)

Du kan jo alltids si at siden du kan faktorisere [tex]p(y;\sigma^2)[/tex] til [tex]g(T(y),\sigma_^2)h(y)[/tex], der [tex]h(y)=1[/tex] så vil [tex]T(y)[/tex] vil tilstrekkelig statistikk for [tex]\sigma^2[/tex] av Neyman-Fisher, men da har du ikke eksplisitt vist at [tex]\hat{\sigma}^2[/tex] er tilstrekkelig. For å gjøre dette må du vise at [tex]p(y|\sum_i y_i^2=T_0;\sigma^2)[/tex] er uavhengig av [tex]\sigma^2[/tex], og for å gjøre dette tror jeg du må veien om [tex]\chi^2[/tex]-pdfen (med mindre jeg overkompliserer noe veldig). Tror faktisk jeg fikk en lignende oppgave på eksamen da jeg hadde det, og da var det i alle fall slik man gjorde det.