matematikk.net

Jeg sliter litt med analytisk geometri/vektorer..

Har 3 spm.:

1) En sirkel x^2+(y-3)^2=25 og en linjeen l: x=t konjuksjon y=k+2t Bestem k slik at l tangerer sirklen... Har virkelig problemmmer med denne..

2) En sirkel går gjennom (4,=) og tangerer y-aksen (0,2) Forklar at likningen for sirklen kan skrives: (x-r)^2+(y-2)^2=r^2???

3)Finn likningen med radius 5 som går gjennom origo og (4,2)... Hvor mange løsninger har denne?

Jeg har brukt en del tid på disse... føler meg helt blank på sirkler... Selv om jg forstår det grunnlegende..

på forhånd takk

Tips til oppgave 1: Her må du finne vektoren fra sentrum til tangeringspunktet. Denne blir (t, k+2t-3). Denne står vinkelrett på retningsvektoren til linja l som er ( 1, 2). Skalarproduktet av disse vektorene setter du lik 0. Du får da ei likning med to ukjente.

Så setter du inn koordinatene til linja (t, k+2t) inn i likningen til sirkelen, og får ei ny likning med to ukjente.

Likningsystemet med to likninger og to ukjente(k og t) løser du deretter, og du har da finni k og oppgava er løst.

Man trenger kun likningen

(1) t[sup]2[/sup] + (2t + k-3)[sup]2[/sup] = 25

får å besvare spørsmål 1. Utregning gir at (1) er ekvivalent med

(2) 5t[sup]2[/sup] + 4(k-3)t + (k-3)[sup]2[/sup] - 25 = 0.

Siden linjen x=t, y=k + 2t skal tangere sirkelen, har denne linjen og sirkelen bare et felles punkt. Dette betyr at andregradlikningen (2) kun vil være tilfredsstilt for en verdi av t. M.a.o. må diskriminanten

[4(k-3)][sup]2[/sup] - 4*5*[(k-3)[sup]2[/sup] - 25] = 16(k-3)[sup]2[/sup] - 20(k-3)[sup]2[/sup] + 20*25 = -4(k-3)[sup]2[/sup] + 500 = -4[125 - (k-3)[sup]2[/sup]] = 0.

Altså må k=3 - 5[rot][/rot]5 eller k=3 + 5[rot][/rot]5.

Når eg løste likningssystemet med t og k fekk eg løsninga:

t = 2[rot][/rot]5 , k = 3 - 5[rot][/rot]5

og

t = -2[rot][/rot]5 , k = 3 + 5[rot][/rot]5


Dette betyr at linjene x = t og y = 3 - 5[rot][/rot]5 + 2t

x = t og y = 3 + 5[rot][/rot]5 + 2t

er løsningene på problemet.

Korriger meg dersom eg tar feil.

Hilsen Gjest som kom med tips til oppgave 1, kl 13.20

Hva er det du egentlig gjør her... :

2) 5t2 + 4(k-3)t + (k-3)2 - 25 = 0.

Siden linjen x=t, y=k + 2t skal tangere sirkelen, har denne linjen og sirkelen bare et felles punkt. Dette betyr at andregradlikningen (2) kun vil være tilfredsstilt for en verdi av t. M.a.o. må diskriminanten

[4(k-3)]2 - 4*5*[(k-3)2 - 25] = 16(k-3)2 - 20(k-3)2 + 20*25 = -4(k-3)2 + 500 = -4[125 - (k-3)2] = 0.

Altså må k=3 - 5√5 eller k=3 + 5√5.

Hvor dan setter du opp dette likningsettet med 2 ukjente... Jeg kjenner ikke igjen metoden du bruker...

Takk

Skalarproduktet av vektoren fra sentrum til tangeringspunktet og retningsvektoren til linja l setter du lik null, siden disse står vinkelrett på hverandre:

[t, k+2t-3]*[1,2] = t + 2k + 4t - 6 = 0

5t + 2k - 6 = 0 (1)


Så setter du inn x = t og y = k+2t inn i likningen til sirkelen og får

t^2 + (2t + k-3)^2 = 25 (2)


(1) og (2) er likningsystemet eg har løst og fått svaret

t = 2√5 , k = 3 - 5√5

og

t = -2√5 , k = 3 + 5√5

Til vedkommende som lurer på hvordan jeg kommer fram til den verdi av t som gir kun en løsning av en andregradslikningen

(1) at[sup]2[/sup] + bt + c = 0:

Denne likningen har løsningen

t=(-b +/- [rot][/rot]d)/(2*a)

der diskriminanten d=b[sup]2[/sup] - 4ac. Likningen (1) har kun en løsning hvis og bare hvis d=0.

Når det gjelder oppgave 3, vil denne sirkelen være gitt ved likningen

(2) (x-a)[sup]2 [/sup]+ (y-b)[sup]2[/sup] = 5[sup]2[/sup].

Siden punktene (0,0) (origo) og (4,2) ligger på denne sirkelen, må

(3) a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] = 25 og



(4) (4-a)[sup]2[/sup] + (2-b)[sup]2[/sup] = 25.

Ved å kvadrere i (4) og deretter anvende (3), får vi at

-8a - 4b + 20 = 25 - (a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup]) = 25 - 25 = 0.

Dermed har vi at b = 5 - 2a, som innsatt i (3) gir

25 = a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup] + (5 - 2a)[sup]2[/sup] = 5a[sup]2[/sup] - 20a + 25,

så a[sup]2[/sup] - 4a = a(a - 4) = 0. Altså må a=0 og b=5-2*0=5 eller a=4 og b=5-2*4=-3. Settes disse verdiene for a og b inn i (2), kommer vi fram til at denne oppgaven har to løsninger, nemlig x[sup]2 [/sup]+ (y - 5)[sup]2[/sup] = 25 og (x - 4)[sup]2[/sup]+ (y + 3)[sup]2[/sup] = 25.

Når det gjelder oppgave 2, kan jeg ikke komme med noe løsningsforslag før du forklarer hva du mener med koordinaten (4,=).

Hei igjen.. har hatt karaker 5 i 3MX og tar MAT1000 og diskre matematikk, har ikke hatt om dette før... er det vanlig eller burde dette være logisk. Jeg skjønner hvordan man løser denne nå etter forklaring, men spm mitt er om jg burde klart å se dette selv uten hejlp, selv om jeg ikke har hatt om diskriminant?

takk!

Oppgave2 var (4,0)

Oppgave 2:
Sentrum har koordinatene S(m,n).
Siden sirkelen tangerer y-aksen får vi at retningsvektoren til y-aksen skalarmultiplisert med vektoren fra tangeringspunktet til sentrum blir lik null:

[0,1]*[m,n-2] = 0
n-2 = 0
n = 2

Vi setter inn punktet (0,2) i likninga for sirkelen
(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2
(0 - m)^2 + (2 - 2)^2=r^2

m^2 = r^2
m = r

Vi får
(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2
(x - r )^2 + (y - 2)^2 = r^2