Kartesisk form - Komplekse tall

[Lars Sch]

Hei!

I oppgaver hvor vi skal vise at f. eks z1, z2 + z3 = 0 sliter jeg med å omskrive trigonometrisk form til kartesisk form.


Her har vi f. eks at

z1= 2^(1/6) (cos [symbol:pi]/4 +i sin [symbol:pi]/4)
z2= 2^(1/6) (cos 11[symbol:pi]/12 +i sin 11[symbol:pi]/12)
z3= 2^(1/6) (cos 19[symbol:pi]/12 +i sin 19[symbol:pi]/12)


Her ser vi at z1, er relativt enkel å finne. Mitt spørsmål er da hvordan man kan klare å skrive z2 eller z3 på kartesisk form, mao på formen a + ib hvor a og b er hele tall.


Tusen takk for svar! [/i]

[svinepels]

Du vil ikke alltid kunne få a og b til å være hele tall, men reelle vil de alltid være. Det er bare å gange ut parentesen:

[tex]z_2 = 2^{1/6} (\cos \frac{11\pi}{12} + i \sin \frac{11\pi}{12}) = 2^{1/6}\cos \frac{11\pi}{12} + i \, 2^{1/6} \sin \frac{11\pi}{12} = a+ ib[/tex]

Her er [tex]a=2^{1/6}\cos \frac{11\pi}{12}[/tex] og [tex]b=2^{1/6} \sin \frac{11\pi}{12}[/tex]

[Lars Sch]

Ja, det er klart.


I enkelte oppgaver vil oppfølgingspørsmålet være f.eks

Vis at z1 + z2 + z3 = 0

eller f. eks

z1z2 + z1z3 + z2z3 = 0


I disse tilfellene blir det svært vanskelig å komme frem til noe ved å "kun gange ut parantesen". Har dere noen andre løsninger på dette?


Takker nok en gang for svar!

[svinepels]

Skjønner ikke helt hva du mener med at det er vanskelig.

har du gitt to tall på trigonometrisk form

[tex]z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)[/tex]
[tex]z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)[/tex]

så legger du dem sammen ved å multiplisere ut parentesene og deretter legge sammen som om de var vektorer i R^2:

[tex]z_1+z_2 = r_1 \cos \theta_1 + i r_1 \sin \theta_1 + r_2 \cos \theta_2 + i r_2 \sin \theta_2[/tex]
[tex]=(r_1 \cos \theta_1 + r_2 \cos \theta_2) + i (r_1 \sin \theta_1 + r_2 \sin \theta_2)[/tex]

Når det gjelder multiplikasjon, kan det være nyttig å bruke at

[tex](r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1))(r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)) = r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2) + i \sin (\theta_1+\theta_2))[/tex]

[Lars Sch]

Klart du ikke skjønner det når du går bachelor matematikk på NTNU.

[Nebuchadnezzar]

Det som kan være lurt er å legge merke til symmetrien til cosinus og sinus

for eksempel så er [tex]\sin(x + 2\pi n) = \sin(x)[/tex] og [tex]\cos(x + 2 \pi n) = \cos x[/tex]

Så det første steget er å gjøre slik at vinkelen blir mindre enn [tex]2\pi[/tex].
Deretter så kan en bruke vanlige regler for sinus og cosinus. For eksempel om vi har

[tex]\sin(11/5 \pi) - \sin(\pi/5))[/tex] kan vi skrive om den første slik at vi ender opp med null.

alternativt så er det bare å skrive om til kompleks form, da kan ting også bli sett litt enklere

[tex]e^{i \theta} = \cos \theta + sin \theta [/tex]

[drgz]

Klart du ikke skjønner det når du går bachelor matematikk på NTNU.

Og tydeligvis skjønner du enda mindre igjen.