matematikk.net

Hei!

I oppgaver hvor vi skal vise at f. eks z1, z2 + z3 = 0 sliter jeg med å omskrive trigonometrisk form til kartesisk form.


Her har vi f. eks at

z1= 2^(1/6) (cos [symbol:pi]/4 +i sin [symbol:pi]/4)
z2= 2^(1/6) (cos 11[symbol:pi]/12 +i sin 11[symbol:pi]/12)
z3= 2^(1/6) (cos 19[symbol:pi]/12 +i sin 19[symbol:pi]/12)


Her ser vi at z1, er relativt enkel å finne. Mitt spørsmål er da hvordan man kan klare å skrive z2 eller z3 på kartesisk form, mao på formen a + ib hvor a og b er hele tall.


Tusen takk for svar! [/i]

Du vil ikke alltid kunne få a og b til å være hele tall, men reelle vil de alltid være. Det er bare å gange ut parentesen:

[tex]z_2 = 2^{1/6} (\cos \frac{11\pi}{12} + i \sin \frac{11\pi}{12}) = 2^{1/6}\cos \frac{11\pi}{12} + i \, 2^{1/6} \sin \frac{11\pi}{12} = a+ ib[/tex]

Her er [tex]a=2^{1/6}\cos \frac{11\pi}{12}[/tex] og [tex]b=2^{1/6} \sin \frac{11\pi}{12}[/tex]

Ja, det er klart.


I enkelte oppgaver vil oppfølgingspørsmålet være f.eks

Vis at z1 + z2 + z3 = 0

eller f. eks

z1z2 + z1z3 + z2z3 = 0


I disse tilfellene blir det svært vanskelig å komme frem til noe ved å "kun gange ut parantesen". Har dere noen andre løsninger på dette?


Takker nok en gang for svar!

Skjønner ikke helt hva du mener med at det er vanskelig.

har du gitt to tall på trigonometrisk form

[tex]z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)[/tex]
[tex]z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)[/tex]

så legger du dem sammen ved å multiplisere ut parentesene og deretter legge sammen som om de var vektorer i R^2:

[tex]z_1+z_2 = r_1 \cos \theta_1 + i r_1 \sin \theta_1 + r_2 \cos \theta_2 + i r_2 \sin \theta_2[/tex]
[tex]=(r_1 \cos \theta_1 + r_2 \cos \theta_2) + i (r_1 \sin \theta_1 + r_2 \sin \theta_2)[/tex]

Når det gjelder multiplikasjon, kan det være nyttig å bruke at

[tex](r_1(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1))(r_2(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)) = r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2) + i \sin (\theta_1+\theta_2))[/tex]

Klart du ikke skjønner det når du går bachelor matematikk på NTNU.

Det som kan være lurt er å legge merke til symmetrien til cosinus og sinus

for eksempel så er [tex]\sin(x + 2\pi n) = \sin(x)[/tex] og [tex]\cos(x + 2 \pi n) = \cos x[/tex]

Så det første steget er å gjøre slik at vinkelen blir mindre enn [tex]2\pi[/tex].
Deretter så kan en bruke vanlige regler for sinus og cosinus. For eksempel om vi har

[tex]\sin(11/5 \pi) - \sin(\pi/5))[/tex] kan vi skrive om den første slik at vi ender opp med null.

alternativt så er det bare å skrive om til kompleks form, da kan ting også bli sett litt enklere

[tex]e^{i \theta} = \cos \theta + sin \theta [/tex]

Lars Sch skrev:Klart du ikke skjønner det når du går bachelor matematikk på NTNU.

Og tydeligvis skjønner du enda mindre igjen.