Absolutt og betinget konvergens

[Baz]

For hvilke p konvergerer rekken:

[tex]\sum_{n=1}^{infty} (-1)^n n^p sin (1/n)[/tex]

absolutt eller betinget?

Dette har jeg gjort:

Siden sin 1/n [tex]\leq[/tex] 1 har vi [tex]n^p sin (1/n) \leq n^p[/tex]

Absoluttverdien av rekken er

[tex]\sum_{n=1}^{infty} n^p sin (1/n) \leq n^p[/tex]

Det vil si at for p verdier som n^p konvergerer, vil også n^p sin (1/n) konvergere (siden den er mindre eller lik)

Dvs:
n^p = 1/n^-p , som konvergerer for p < -1

Det jeg har funnet ut er at rekken konvergerer absolutt for p<-1.. Men når divergerer den, og når konvergerer den betinget?

[svinepels]

Hvis du ser på [tex]p \geq 0[/tex], så vil ikke [tex](-1)^n n^p \sin \frac{1}{n}[/tex] gå mot null, og ved divergenstesten vil rekka altså divergere.

Da gjenstår [tex]p \in [-1,0)[/tex]. Her vil kanskje testen for alternerende rekker funke.

[Baz]

Det gjorde den takk for hjelpen!

[Per Spelemann]

[tex] \lim_{ n \to \infty } \, n \, \cdot \, \sin( n^{-1} ) \, = \, 1 [/tex]

Så du trenger nok også et argument for

[tex] p \in [0, \, 1) [/tex].

En passende grensesammenligningstest kan trolig benyttes.