Generelt spørsmål om egenverdier og -vektorer

[Aleks855]

Sitter og ploger gjennom noen eksamenssett før jeg skal ha eksamen selv på mandag, og stusser litt på følgende.

I en deloppgave skal vi finne egenverdiene og -vektorene til en matrise A.

I neste deloppgave skal vi finne en inverterbar matrise K og en diagonal matrise D som oppfyller likningen [tex]A = KDK^{-1}[/tex]

I følge boka, og uten videre seremoni, så forklares det at matrisen [tex]K[/tex] er en matrise dannet av egenvektorene til [tex]A[/tex], og den diagonale matrisen [tex]D[/tex] er rett og slett en slags identitetsmatrise men med egenverdiene til [tex]A[/tex] i stedet for 1 langs diagonalen.

Spørsmålet er da... hva er hensikten med denne magiske likninga [tex]A = KDK^{-1}[/tex]?



Hvis det hjelper, så er dette matrisa vi jobba med.

[tex]A = \left[\begin{matrix} 3 & -1 \\ -2 & 2 \end{matrix}\right][/tex]

[tex]D = \left[ \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right][/tex]

[tex]K = \left[ \begin{matrix} -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1 \end{matrix} \right][/tex]



Setter pris på svar! Plager meg at sånt bare står oppført som en regel uten videre forklaring.

[moth]

For eksempel er [tex]A^n=(KDK^{-1})^n=KD^nK^{-1}[/tex]

Og hvis ingen av egenverdiene til A er 0 så er [tex]A^{-1}=KD^{-1}K^{-1}[/tex]

Finnes sikkert andre bruksområder også

[espen180]

Betydningen av den ligninga er hovedsakelig et eksistensteorem. En matrise er jo generellt en lineær transformasjon på et vektorrom. Hvis en matrise er diagonaliserbar så finnes en basis for vektorrommet slik at matrisa representert i den basisen er diagonal. Denne basisen vil være gitt av eigenvektorene til matrisa.

Så vidt jeg vet har den ikke noen dypere betydning enn det.

Jeg har for det meste sett diagonalisering brukt til å regne ut store potenser av matriser.

[svinepels]

Å kunne diagonalisere matriser er også en fordel når man for eksempel skal løse lineære systemer av differensialligninger eller identifisere kjeglesnitt! Gitt en ligning på formen

[tex]ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0[/tex]

så vil den alltid representere en parabel, ellipse, hyperbel eller et degenerert kjeglesnitt (i planet). Man kan bruke diagonalisering til å finne nøyaktig hvilken av disse man har med å gjøre.