Optimering av økonomisk teori.

JensChr · 15/10-2005 16:29

Jeg har en oppgave som lyder som følgende:
Vi ser på en produsent som produserer og selger x enheter av en vare til p=p(x) per enhet og med kostnadene K=K(x). Bestem profitten i hver av sitiasjonene a) og b). Bestem ihvert tilfelle vinningsoptimum i x[sub]0[/sub] og tilhørende salgsinntekt, totale kostnader og maksimal profitt.

a) p=2500-0,25x K=1.000.000+500x
b) p=700-3x K=10.000+100x+x[sup]2[/sup]

Det som er problemet er at jeg ikke får til å sette disse sammen til en profitt-funksjon. Og jeg får ikke til å derivere p og K. For meg gir ikke dette noe sammenheng. Kan noen forklare meg hva jeg må gjøre?
I følge fasiten skal a) bli: [pi][/pi](x)= -,25x[sup]2[/sup]+2000x-1.000.000 og b) [pi][/pi](x)=-4x[sup]2[/sup]+600x-10.000

Men uansett hva jeg gjør så får jeg ikke dette til å stemme... Er det meg eller er det(som jeg håper) feil i fasiten?

Jens Chr.

15/10-2005 18:14

Profittfunksjonen p(x) angir profitten per enhet når x enheter selges. Så inntekten av salget av x enheter blir x*p(x). Kostnadfunksjonen K(x) angir kostnaden ved å produsere disse x enhetene. Formelen profitt=inntekt - kostnad gir at profittfunksjonen blir

[pi][/pi](x) = x*p(x) - K(x).

JensChr · 15/10-2005 18:21

Hvorfor står ikke d i boka? Men hvordan blir da P´(x) og K´(x)?

Tusen takk...

15/10-2005 19:08

a) p(x)=2500 - 0,25x og K(x)=1.000.000 + 500x gir

π(x) = x*p(x) - K(x) = x(2500 - 0,25x) - (1.000.000 + 500x) = 2500x - 0,25x[sup]2[/sup] - 1.000.000 - 500x = -0,25x[sup]2[/sup] + 2000x - 1.000.000.

For å finne maksimal profitt, derivere vi [pi][/pi](x) og får

[pi][/pi]´(x) = -0,5x + 2000 = 0,5(4000 - x).

Så [pi][/pi]´(x)=0 når x=4000, hvilket innebærer at [pi][/pi](x) er maksimal for x=4000. For 4000 produserte enheter blir salgsinntekten

4000*p(4000) = 4000*(2500 - 0,25*4000) = 4000*(2500-1000) = 4000*1500 = 6.000.000 (kr)

og de totale kostnader

K(4000) = 1.000.000 + 500*4000 = 1.000.000 + 2.000.000 = 3.000.000 (kr).

M.a.o. blir den maksimale profitten

[pi][/pi](4000) = 6.000.000 - 3.000.000 = 3.000.000 (kr).

JensChr · 15/10-2005 19:18

jeg trodde man skulle derivere p(x) og K(x) og vinningsoptimum x[sub]0[/sub] var der p´(x)=K´(x) stemmer ikke dette?

15/10-2005 19:56

Inntektsfunksjonen I(x)=x*p(x) gir [pi][/pi](x) = I(x) - K(x) som igjen medfører at [pi][/pi]´(x) = I´(x) - K´(x) . Ergo blir [pi][/pi]´(x)=0 når I´(x)=K´(x).

For at formelen du angir for løsning av optimeringsproblemet (p´(x)=K´(x)), må altså p(x) være den totale inntekten ved salg av x enheter, ikke (som i dette tilfellet) inntekten per enhet.

JensChr · 15/10-2005 20:05

Da skjønner jeg.. Tusen hjertelig takk...

JensChr · 16/10-2005 17:46

Blir da vinningsoptimum x[sub]0[/sub] når x=4000?

JensChr · 16/10-2005 18:27

D fant jeg ut, men hvis jeg skal gjenta det jeg gjorde med p=b-ax, K=K[sub]0[/sub]+kx

Jeg har funnet ut at det blir [pi][/pi](x)=-ax[sup]2[/sup]+(b-k)x-K[sub]0[/sub]

Men så skal jeg bevise at Vinningsoptimum x[sub]0[/sub] er (b-k)/2a og at salgsinntekt er (b[sup]2[/sup]-k[sup]2[/sup])/4a
Og de totale kostnader K[sub]0[/sub]+(k(b-k))/2a og at [pi][/pi](x[sub]0[/sub]=((b-k)[sup]2[/sup]-4aK[sub]0[/sub])/4a

Dette forstår jeg ikke...

17/10-2005 11:30

Ved å derivere profittfunksjonen mhp. x, får vi at

π´(x)=-2ax[sup]2[/sup]+(b-k) = -2a[x - (b-k)/(2a)]

Så [pi][/pi] er maksimal for x=(b-k)/2a. M.a.o. er vinningsoptimum x[sub]0[/sub]=(b-k)/2a, som gir kostnaden

K(x[sub]0[/sub]) = K((b-k)/(2a)) = K[sub]0[/sub] + (k(b-k))/(2a)

og profitt

p(x[sub]0[/sub]) = p((b-k)/(2a)) = b - a(b-k)/(2a) = b - (b-k)/2 = (2b - b + k)/2 = (b+k)/2,

hvilket innebærer at salgsinntekten blir

x[sub]0[/sub]*p(x[sub]0[/sub])= (b-k)/(2a)*p((b-k)/(2a)) = [(b-k)/(2a)]* [(b+k)/2] = (b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup])/(4a).

Dermed blir den maksimale profitten

x[sub]0[/sub]*p(x[sub]0[/sub]) - K(x[sub]0[/sub]) = (b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup])/(4a) - K[sub]0[/sub] - (k(b-k))/(2a) = -K[sub]0 [/sub] + [b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup] - 2k(b-k)]/(4a)

= -K[sub]0 [/sub] + (b[sup]2[/sup] - k[sup]2[/sup] - 2bk + 2k[sup]2[/sup])/(4a) = -K[sub]0 [/sub] + (b[sup]2[/sup] - 2bk + k[sup]2[/sup])/(4a) = -K[sub]0 [/sub] + (b - k)[sup]2[/sup]/(4a).