Side 1 av 1
Finne plan ut fra punkter
Lagt inn: 06/06-2012 09:56
av Bentebent
Hei, jeg skal regne ut en sirkulasjon i et område som er begrenset av den lukkede kurven, C, som er gitt ved hjørnene
P(1,0,0), Q(0,2,0) og R(0,0,2). Jeg har også fått opplyst at sirk. går i retning PQR, som må bety at normalvektoren har positiv k-komponent.
Det jeg lurer på er hvordan jeg beskriver flaten ved hjelp av hjørnene, så hvis noen kunne gitt en forklaring på det hadde det vært kjempefint!
Takker på forhånd.
Lagt inn: 06/06-2012 10:34
av kimjonas
Skal du finne planet som punktene ligger i?
Lagt inn: 06/06-2012 10:39
av Nebuchadnezzar
Det er nok flere måter å gjøre dette på
Det letteste her er nok lettest å bruke stokes, til å skrive om
overflateintegralet ditt til et linjeintegral. Eg en projeksjon ned på xy-planet. slik at
[tex]\oint \text{curl} = \int_S F \, \mathrm{d}s[/tex]
Om du ønsker å finne et uttrykk for planet gitt ved disse tre punktene er ikke det så vanskelig heller. Et plan uttrykkes som oftest via et punkt, og en normalvektor. eg
[tex]\alpha \ \ a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1)[/tex]
Her ønsker du først å finne en vektor som står normalt på planet. Dette gjøres da lettest for eksempel slik
[tex]\vec{n} = \vec{PQ} \times \vec{PR}[/tex]
Så kan du for eksempel velge [tex](x_1,y_1,z_1) = P[/tex]
Lagt inn: 06/06-2012 11:26
av Bentebent
Ah, haha, å finne planet er jo pensum i R2. Nå må jeg skjerpe meg. Takk!
Skal vi se.. jeg skal beregne
fluksintegralet av F * T ds, som blir [symbol:integral] [symbol:integral] curl F * n d(sigma).
Jeg kan jo samtidig opplyse om at
F = [ y^2, y*z, x*x] og curl F = [-y. -z, -2*y].
Jeg fant n-vektor lik [2,1,1]. Der F, n, og T er vektorer (vet ikke hvordan jeg får skrevet vektorsymbolet).
Jeg ender med et dobbeltintegral (eller et enkeltintegral som du nevnte, Nebuchadnezzar?) : int int ( -2*y - z - 2*y) d(sigma) over flaten S. Flaten S er gitt ved trekanten.
(Beklager for at det ble en dårlig skrevet oppsummering)
Lagt inn: 07/06-2012 01:19
av Nebuchadnezzar
Nå har det seg slik at jeg og snart har eksamen i dette. Veldig snart faktiks. Prøver derfor å legge ut en kort løsningsskisse under, har du fasit?
Vet jeg har regnet litt feil, men klarer ikke helt å se hvor.
......
Vi skal beregne
[tex]\iint_D F \cdot T\mathrm{d} = \iint \text{curl}(F) \, \mathrm{d}S[/tex]
Her har vi [tex]F(x) = [y^2 , y \cdot z , x^2][/tex] og [tex]\text{curl}(F)=\left[-y , -2x ,-2y\right][/tex] Via innsetning får vi da
[tex]\iint_D -4y - 2x\, \mathrm{d}S[/tex]
Her er D området avgrenset av [tex]0<x<1[/tex] , [tex]0<y<2[/tex] , [tex]0<z<2[/tex] og planet
[tex]2x + y + z + 2 = 0[/tex]
Velger herfra og benytte oss av parametriseringen [tex]x = u[/tex] og [tex]y=v[/tex]. Jakobian determinanten blir den samme.
Planet vårt kan da skrives som
[tex]2x + y + z + 2 = 0 \Rightarrow z = f(t,s) = 2 - 2u - v[/tex].
Slik at
[tex]\mathrm{d}S = \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}u}\right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}u} \right)^2 + 1} = \sqrt{6}\,\mathrm{d}v \, \mathrm{d}v[/tex]
Endelig blir integralet vårt
[tex]\iint \text{curl}(F) \, \mathrm{d}S = \sqrt{6} \int_0^1 \ \int_0^{2-2u} -4v - 2u \, \mathrm{d}v\mathrm{d}u = -\frac{10}{3}\sqrt{6}[/tex]
Men dette virker ikke riktig, via Stokes får jeg noe litt annet :p
Så jeg vet ikke helt hvor feilen min ligger :p
Lagt inn: 07/06-2012 02:32
av Vektormannen
Har ikke sett nøye på det, men det er vel sånn at [tex]\text{curl} \vec{F} d\vec{S} = \text{curl} \vec{F} \cdot \hat n dS = (-y, -2x, -2y) \cdot \frac{1}{\sqrt 6} (2,1,1) dS[/tex]?
edit: Jeg kan ikke se noe galt i utregningen i alle fall (bortsett fra faktoren [tex]\sqrt 6[/tex] som egentlig ikke skal være der pga. det ovenfor.) Jeg kommer også frem til -10/3. Hva mener du med at du får noe annet med Stokes? Det er vel det som er brukt for å omskrive integralet til et dobbeltintegral av curl F? (Mente du divergensteoremet?)
Lagt inn: 07/06-2012 10:50
av Nebuchadnezzar
Var litt sent i går ja, mente divergensteoremet men ser nå at det ikke vil fungere. Vi beveger jo oss langs randen og ikke over hele flaten, dermed er divergensteoremet ikke gyldig.
Godt å se jeg har regnet riktig, phew. Med dog litt for mange slurvefeil.
Lagt inn: 07/06-2012 20:12
av Bentebent
AH, herre min hatt. Jeg har skrevet x*x i stedet for x*z. Slik at curl F BLIR :
Curl F = [ -y, -z, -2y ]. Da kommer vi frem til svaret som er -10/3. Så feilen din ligger i at jeg sa feil, ellers har du gjort alt rett.
Tusen takk for hjelpen!
(Har du også matte2? Eller et lignende fag?)