Newtons metode - feilestimering

[krje1980]

Hei.

Jeg har støtt på en oppgave som forklares ved en bestemt metode, men når jeg forsøker å løse dette i tråd med det læreboken skriver, får jeg litt annet svar. Setter pris på om noen kan forklare hvorfor svarene ikke stemmer overens.

Gitt funksjonen:

[tex]f(x) = \frac{1}{x} - N[/tex]

Der [tex]N[/tex] er et positivt tall.

Gjennom Newtods metode gir dette iterasjonen:

[tex]x_{i+1} = x_{i}(2 - N \cdot x_i), i = 0,1,...[/tex]

Sett absoluttfeilen [tex]e_i = x_i - \frac{1}{N}[/tex] og vis at:

[tex]e_{i+1} = -Ne_{i}^2, i \geq 0[/tex]

Eksempelet jeg støtter på bruker så følgende fremgangsmåte for feilestimering:

Med [tex]e_i = x_i - \frac{1}{N}[/tex] får vi [tex]x_i = e_i + \frac{1}{N}[/tex] som innsatt gir:

[tex]e_{i+1} + \frac{1}{N} = (e_i + \frac{1}{N})(2 - N(e_i + \frac{1}{n})) = (e_i + \frac{1}{N})(1 - N \cdot e_i) = \frac{1}{N} - Ne_{i}^2[/tex]

slik at vi finner:

[tex]e_{i+1} = -Ne_{i}^2, i \geq 0[/tex]

OK, så jeg forstår denne fremgangsmåten helt fint, men i boken står det at for å beregne [tex]e_{i+1}[/tex] kan vi bruke:

[tex]e_{i+1} \approx - \frac{f^{\prime \prime}(r)}{2f^{\prime}(r)}e_{i}^2[/tex]

Med det gitte uttrykket for [tex]f(x)[/tex] har vi:

[tex]f^{\prime}(x) = -\frac{1}{x^2}[/tex]

[tex]f^{\prime \prime}(x) = \frac{2}{x^3}[/tex]

Ettersom roten er [tex]x = \frac{1}{N}[/tex] får jeg da:

[tex]e_{i+1} \approx - \frac{1}{2} (\frac{\frac{2}{x^3}}{-\frac{1}{x^2}})e_{i}^2[/tex]

[tex]= -\frac{1}{2}(-\frac{2}{x})e_{i}^2[/tex]

[tex]= -\frac{1}{2}(-\frac{2}{\frac{1}{N}})e_{i}^2[/tex]

[tex]= Ne_{i}^2[/tex]

Altså får jeg samme svar, men med motsatt fortegn. Er det noe jeg gjør galt her? Setter stor pris på om noen kan forklare dette for meg!