konvergens og cauchy

[gundersen]

Er det nok(riktig) å si dette? Er litt usikker på om bevismåten min er riktig ført opp.
Skal vise:
hvis [tex] \left{x_n}\right[/tex] er Cauchy, og har en konvergerende subsequence med grenseverdi x, så er også [tex] \left{x_n}\right[/tex] konvergerende med samme grenseverdi.

[tex]\varepsilon > 0\exists N = N(\varepsilon ):d({x_{{n_k}}},x) < \varepsilon \vspace{4} for \vspace{4} n_k>N\\ \exists m > {n_k}:{x_m} > {x_{{n_k}}} \vee {x_m} \in {x_n}[/tex]
kan derfor konkludere med at [tex]d({x_m},x) < \varepsilon[/tex] og at [tex]\left{x_n\right}[/tex] også er konvergerende med samme grenseverdi?

[Gustav]

Nei, det holder ikke. Det du må vise er at det fins en N slik at for alle n>N er [tex]d(x,x_n)<\epsilon[/tex].

Hnt: Bruk at følgen er Cauchy samt at trekantulikheten gjelder:

[tex]d(x_m,x)\leq d(x_m,x_n_k)+d(x_n_k,x)[/tex]

[gundersen]

Takk!

Ehm;
Da ser jeg for meg fire punkter "på linje"
N--|--m--n--x_nk--x

[tex]d(x_n_k,x)<\frac{\large{\varepsilon}}{3}\\d(x_n,x_m)<\frac{\large{\varepsilon}}{3}\\d(x_n,x_n_k)<\frac{\large{\varepsilon}}{3}\\d(x_n,x)\leq d(x_n_k,x) + d(x_n,x_m)+d(x_n,x_n_k) = \varepsilon\\for\vspace{4} m,n,n_k>N[/tex]

Holder dette?
EDIT: kan ha byttet litt på variablene i forhold til det jeg skrev i sted, og trekant-ulikheten kan ha vært litt bedre "stokket på" ser jeg, men man ser hvertfall om tankemåten har vært riktig

[Vektormannen]

Jeg tror ikke den m-en er noe vits i å ha med? Du har at [tex]d(x_n_k, x) < \epsilon/2[/tex] hvis [tex]n_k > N_1[/tex]. Du vet også at [tex]d(x_n, x_n_k) < \epsilon/2[/tex] så lenge [tex]n, n_k > N_2[/tex]. Da vet du at når [tex]n, n_k > N[/tex] der N er den største av [tex]N_1[/tex] og [tex]N_2[/tex] så holder begge deler, og du kan bruke trekantulikheten slik som plutarco viste. Ditt bevis blir vel ikke feil, men jeg tror ikke det er nødvendig å ha med m-en?

Nå er jeg litt usikker på om det er nødvendig å skille mellom de to forskjellige N-ene slik jeg gjør ovenfor. Hvis [tex]N_1[/tex] alltid er større enn [tex]N_2[/tex] eller omvendt vil det ikke være nødvendig, men det er vel bare tilfellet dersom følgen er strengt voksende (i avstand)?

[Gustav]

Jeg tror ikke den m-en er noe vits i å ha med? Du har at [tex]d(x_n_k, x) < \epsilon/2[/tex] hvis [tex]n_k > N_1[/tex]. Du vet også at [tex]d(x_n, x_n_k) < \epsilon/2[/tex] så lenge [tex]n, n_k > N_2[/tex]. Da vet du at når [tex]n, n_k > N[/tex] der N er den største av [tex]N_1[/tex] og [tex]N_2[/tex] så holder begge deler, og du kan bruke trekantulikheten slik som plutarco viste. Ditt bevis blir vel ikke feil, men jeg tror ikke det er nødvendig å ha med m-en?

Nå er jeg litt usikker på om det er nødvendig å skille mellom de to forskjellige N-ene slik jeg gjør ovenfor. Hvis [tex]N_1[/tex] alltid er større enn [tex]N_2[/tex] eller omvendt vil det ikke være nødvendig, men det er vel bare tilfellet dersom følgen er strengt voksende (i avstand)?

Ser riktig ut. Det er også riktig å la [tex]N=max(N_1,N_2)[/tex].

[gundersen]

Stiller også et siste spørsmål her før jeg tar kvelden siden det er noe relatert
Dette er btw tilfeldige oppgaver i boka og ikke relatert til øvinger (så du ikke får noe skitten samvittighet!)

Vis at hver eneste couchy sekvens er bundet.
[tex]{x_n}[/tex] er en couchy sekvens
[tex]\vspace{4}dvs\vspace{4}\forall \varepsilon > 0\exists N:\forall m,n > N\\ d(x_m,x_n)>\varepsilon[/tex]
Vi velger en N med avstand 1 til x;
for [tex]m,n>N_1[/tex]
[tex]d(x_n,x_N_1)<1[/tex]
Vi kan da også si at
[tex]\forall n\geq N_1\\d(x_n,x_N_1)<1\\M=max\left{d(x_N_1,x_1),d(x_N_1,x_2,....,d(x_N_1,x_{{N_1}-1}\right}[/tex]
bruker lignendes fremgangsmåte som du minnet meg på i sted;
der [tex]x_y[/tex] er en arbitrær x i [tex]\left{x_n\right}[/tex]

[tex]d(x_y,x_n)\leq d(x_y,x_N)+d(x_N,x) \leq M + 1[/tex]
EDIT:slurv

[gundersen]

Ah, ok. Er enda ikke helt vant til slik type bevisføring, og føler selv at det blir noe rotete. Prøver derfor å gjøre litt lettere oppgaver i boka med en fin føring slik at jeg skjønner bedre fremgangsmåten i de litt vanskeligere, så kritikk tas i mot med takk:)

[Gustav]

Hm, jeg tror du har mer eller mindre rett, men det er uryddig ført. Her er mitt eget forslag: (jeg tror trekantulikheten kan unngås her med mindre jeg har gjort noen tabber)

At en følge er begrenset betyr at det fins en [tex]B[/tex] slik at [tex]d(x_n,x_k)<B[/tex] for alle [tex]n\in\mathbb{N}[/tex] og for en gitt [tex]k[/tex].

Vi vet at det fins en [tex]N[/tex] slik at [tex]d(x_n,x_m)<1[/tex] for alle [tex]n,m\geq N[/tex].

La [tex]k=N[/tex]. Vi må vise at det fins en [tex]B[/tex] slik at [tex]d(x_n,x_N)<B[/tex] for alle n. Dersom [tex]n>N[/tex] kan vi sette [tex]B=1[/tex]. Dersom [tex]n\leq N[/tex] kan vi sette [tex]B=B_1=\max\left{d(x_n,x_N):0\leq n\leq N\right }[/tex]. Så vi lar [tex]B=\max\left {1,B_1\right }[/tex].

[gundersen]

Det ser litt bedre ut ja

Slenger på et siste spørsmål her siden det er å vise at noe er komplett jeg skjønner minst av.

La X være rommet bestående av alle ordnede n-tupler [tex]x=(\xi_1,...,\xi_n)[/tex] av reelle tall og
[tex]d(x,y)=max_j|\xi_j-\eta_j|[/tex]
Vis at (X,d) er komplett (complete)

Prøvde å følge noen eksempler nogenlunde men føler meg absolutt ikke sikker på slike oppgaver.

here goes: for en arbitrær couchy serie
[tex]\left{x_m\right} =(\xi_1^m,...,\xi_n^m)\\ \forall\epsilon>0\exists N:\\d(x_m,x_r)=max_j|\xi_j^{(m)}-\eta_j^{(r)}|<\epsilon[/tex]
for m,r > N
[tex]|\xi_j^{(m)},-\xi_j^{(r)}| <\epsilon[/tex]
[tex]x=(\xi_1,\xi_2,..\xi_n)\\d(x_m,x)\leq\epsilon[/tex]

[Gustav]

Forstår ikke helt hva du mener i de siste to linjene..

Det som er naturlig er å utnytte at [tex]\mathbb{R}^n[/tex] er komplett med hensyn til standardmetrikken [tex]d(x,y)=(\sum_i (x_i-y_i)^2)^{0.5}[/tex].

La [tex](x_n)[/tex] være Cauchy mhp Chebyshevmetrikken (altså den metrikken som er oppgitt i oppgaven). Vis at følgen da er Cauchy mhp standardmetrikken. Da vet du at følgen konvergerer mhp standardmetrikken. Vis til slutt at følgen dermed konvergerer mhp Chebyshevmetrikken.