Lineær algebra

[Razzy]

Uten å gå inn på tilfellet I og II tenker jeg:

Hvis vektorene a,b,c er lineært avhengige av hverandre;
- Må de ligge i samme plan og er dermed være utspent av samme basis vektorer

- Minst en av dem kunne skrives om en lineær kombinasjon av de to andre, og dermed vil vektorene være parallelle med hverandre

- Jeg vet at i den generelle ligningen [tex]$${a_1}{v_1} + {a_2}{v_2} + {a_3}{v_3} = 0$$[/tex] vil ikke alle konstantleddene være lik 0, det finnes flere løsninger (uendelig mange/hele planet?)


[tex]$${\rm I}.$$[/tex] Vektorene a og b er lineært avhengige, a kan skrives som lineær kombinasjon av b som igjen skrevet som en lineær kombinasjon av basis vektoren c.


[tex]$${\rm II}.$$[/tex] a og b er lineært uavhengige og danner dermed en basis. c kan skrives som en lineær kombinasjon av a,b og er lineær avhengig av disse.

a,b utspenner [tex]$${V^2}$$[/tex]


Så langt har jeg resonnert; hva tenker dere? Hvilken ende kan jeg ta tak i her?

[svinepels]

Geometriske resonnement er nok ikke helt tingen her. Du var inne på det når du skrev opp den ligningen. Anta for eksempel at [tex]a_1 \neq 0[/tex]. Hva skjer om du flytter [tex]a_2v_2 + a_3v_3[/tex] over på den andre siden av likhetstegnet og deler med [tex]a_1[/tex] på hver side?

[Razzy]

[tex]$${a_1}{v_1} + {a_2}{v_2} + {a_3}{v_3} = 0$$[/tex]

[tex]$${a_1}{v_1} = - \left( {{a_2}{v_2} + {a_3}{v_3}} \right)$$[/tex]

[tex]$${v_1} = - {{\left( {{a_2}{v_2} + {a_3}{v_3}} \right)} \over {{a_1}}}$$[/tex]


[tex]{v_1}[/tex] uttrykt som en lin.kombinasjon av de to andre, forutsatt at [tex]$${a_1} \ne 0$$[/tex].

Var det alt?

[svinepels]

Ja, og du kan gjøre det samme resonnementet for [tex]v_2[/tex] og [tex]v_3[/tex].

[Razzy]

Ja, og du kan gjøre det samme resonnementet for [tex]v_2[/tex] og [tex]v_3[/tex].

Ok. Du ville altså ikke benyttet deg av "tipset" til foreleseren?

Heller gå rett på sak, the NTNU way. Got it...

EDIT:


Løsningsforslag:

Det er gitt at de tre vektorene [tex]\underset{a}{\rightarrow},\underset{b}{\rightarrow},\underset{c}{\rightarrow}[/tex] er lineært avhengige og vi skal kunne at:


(her skriver jeg opp punkt 2)

Dette vil si at:

[tex]$${a_1}{v_1} + {a_2}{v_2} + {a_3}{v_3} = 0$$[/tex]

[tex]$${a_1}{v_1} = - \left( {{a_2}{v_2} + {a_3}{v_3}} \right)$$[/tex]

[tex]$${v_1} = - {{\left( {{a_2}{v_2} + {a_3}{v_3}} \right)} \over {{a_1}}}$$[/tex]


[tex]{v_1}[/tex] uttrykket som en lineær kombinasjon av vektorene [tex]{v_2},{v_3}[/tex] forutsatt at [tex]$${a_1} \ne 0$$[/tex].

Det samme resonnementet gjelder for vektorene [tex]{v_2}[/tex] og [tex]{v_3}[/tex].

[tex]$$ \Rightarrow $$[/tex] Skal [tex]\underset{a}{\rightarrow},\underset{b}{\rightarrow},\underset{c}{\rightarrow}[/tex] kunne uttrykes som en lineær kombinasjon av de to andre er kontantene nødt til å være forskjellig fra null.

DONE