Vi skal her studere kostnadsfunksjoner av typen ax^3+bx^2+cx+d
Forklar hvorfor det er rimelig å kreve at d>0
Deriver funksjonen og forklar hvorfor det er rimelig å kreve at c>0 og at 3ac<b^2 De to siste kravene fører til at a>0 , forklar hvorfor.
Hva vil det bety for kostnadsfunksjonen dersom vi i tillegg krever at b<0?
Sliter veldig med denne oppgaven, håper noen kan gi meg noen løsningstips
Kostnadsfunksjonen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Gitt at kostnadsfunksjonen er gitt ved formelen
K(x) = ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup] + cx + d.
Her er K(x) totalkostnadene ved produksjon av x vareenheter. Da er det rimelig å anta at
(1) K(0)=d>0 fordi K(0) er faste kostnader, dvs. prisen på de investeringer som må gjøres for å kunne starte vareproduksjonen (f.eks. prisen på produksjonsutstyret)
(2) K(x) øker når x øker (kostnadene øker med produksjonsvolumet), dvs. at K`(x)>0 når x>=0. Nå er
K´(x) = 3ax[sup]2[/sup] + 2bx + c,
så K´(0)=c>0. Videre er K´(x)=0 når x=(-2b +/- [rot][/rot] p)/(6a) der
p=(2b)[sup]2[/sup] - 4*(3a)*c = 4(b[sup]2[/sup] - 3ac).
Ettersom K´(x)>0 for alle x>=0, kan ikke andregradslikningen K´(x)=0 har noen reelle løsninger. Ergo må p=4(b[sup]2[/sup] - 3ac)<0, dvs. at b[sup]2[/sup]<3ac. (Du har skrevet at 3ac>b[sup]2[/sup], men jeg går ut fra dette er en skrivefeil). Altså vil a>b[sup]2[/sup]/c>0 i.o.m. at både b[sup]2[/sup]>0 og c>0.
Anta at b<0. Vi observerer at K´´(x)=6ax + 2b. Så K´´(x)=0 når x=-b/(3a)>0 siden -b>0 og a>0. M.a.o. har K(x) har et vendepunkt for en positiv x-verdi x[sub]0[/sub]=-b/(3a). Så for x>x[sub]0[/sub] vil den relative kostnadsendringen ΔK/Δx minske. Ergo vil b<0 medføre at for x>x[sub]0[/sub] vil grensekostnaden K´(x) avta.
K(x) = ax[sup]3[/sup] + bx[sup]2[/sup] + cx + d.
Her er K(x) totalkostnadene ved produksjon av x vareenheter. Da er det rimelig å anta at
(1) K(0)=d>0 fordi K(0) er faste kostnader, dvs. prisen på de investeringer som må gjøres for å kunne starte vareproduksjonen (f.eks. prisen på produksjonsutstyret)
(2) K(x) øker når x øker (kostnadene øker med produksjonsvolumet), dvs. at K`(x)>0 når x>=0. Nå er
K´(x) = 3ax[sup]2[/sup] + 2bx + c,
så K´(0)=c>0. Videre er K´(x)=0 når x=(-2b +/- [rot][/rot] p)/(6a) der
p=(2b)[sup]2[/sup] - 4*(3a)*c = 4(b[sup]2[/sup] - 3ac).
Ettersom K´(x)>0 for alle x>=0, kan ikke andregradslikningen K´(x)=0 har noen reelle løsninger. Ergo må p=4(b[sup]2[/sup] - 3ac)<0, dvs. at b[sup]2[/sup]<3ac. (Du har skrevet at 3ac>b[sup]2[/sup], men jeg går ut fra dette er en skrivefeil). Altså vil a>b[sup]2[/sup]/c>0 i.o.m. at både b[sup]2[/sup]>0 og c>0.
Anta at b<0. Vi observerer at K´´(x)=6ax + 2b. Så K´´(x)=0 når x=-b/(3a)>0 siden -b>0 og a>0. M.a.o. har K(x) har et vendepunkt for en positiv x-verdi x[sub]0[/sub]=-b/(3a). Så for x>x[sub]0[/sub] vil den relative kostnadsendringen ΔK/Δx minske. Ergo vil b<0 medføre at for x>x[sub]0[/sub] vil grensekostnaden K´(x) avta.