Middelverdisetningen

[Mathida]

Har en oppgave som lyder: Vis at |sin^2 x - sin^2 y| er mindre eller lik |x-y| for alle x, y som er reelle tall. Bruk middelverdisetningen.

Jeg har ikke brukt middelverdisetningen på denne måten før, så er litt usikker på hvordan jeg skal gå frem.

Noen som har en ide?

[Lord X]

Kva seier middelverdisetningen? Jo, den seier at dersom du har ein kontinuerleg funksjon på eit lukka intervall [y,x], og dersom den deriverte til f eksisterer på det åpne intervallet (y,x) så finst eit punkt c mellom y og x slik at:

[tex]f^{\prime}(c)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}[/tex]

eller

[tex]f^{\prime}(c)(x-y)=f(x)-f(y)[/tex]

Tek vi absoluttverdien på begge sider får vi altså at for alle y<x eksisterer ein c mellom y og x slik at:

[tex]|f(x)-f(y)|=|x-y|\cdot{f^{\prime}(c)}[/tex]

Dersom vi prøver å definere f ved [tex]f(t):=sin^{2}(t)[/tex], ser vi at venstresida blir [tex]|sin^{2}(x)-sin^{2}(y)|[/tex], mens høyresida blir:

[tex]|x-y|\cdot{|sin(2c)|}[/tex] (kvifor?)

Ser du nå resten?

[Mathida]

Ja, det tror jeg at jeg gjør!

Fordi |sin(2c)| alltid er mindre enn eller lik 1, så vil alltid |sin^2 (x) - sin^2 (y)| være mindre eller lik |x-y|

Tusen takk for hjelpen

[Lord X]

Jepp!