matematikk.net

Har en oppgave som lyder: Vis at |sin^2 x - sin^2 y| er mindre eller lik |x-y| for alle x, y som er reelle tall. Bruk middelverdisetningen.

Jeg har ikke brukt middelverdisetningen på denne måten før, så er litt usikker på hvordan jeg skal gå frem.

Noen som har en ide?

Kva seier middelverdisetningen? Jo, den seier at dersom du har ein kontinuerleg funksjon på eit lukka intervall [y,x], og dersom den deriverte til f eksisterer på det åpne intervallet (y,x) så finst eit punkt c mellom y og x slik at:

[tex]f^{\prime}(c)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}[/tex]

eller

[tex]f^{\prime}(c)(x-y)=f(x)-f(y)[/tex]

Tek vi absoluttverdien på begge sider får vi altså at for alle y<x eksisterer ein c mellom y og x slik at:

[tex]|f(x)-f(y)|=|x-y|\cdot{f^{\prime}(c)}[/tex]

Dersom vi prøver å definere f ved [tex]f(t):=sin^{2}(t)[/tex], ser vi at venstresida blir [tex]|sin^{2}(x)-sin^{2}(y)|[/tex], mens høyresida blir:

[tex]|x-y|\cdot{|sin(2c)|}[/tex] (kvifor?)

Ser du nå resten?

Ja, det tror jeg at jeg gjør!

Fordi |sin(2c)| alltid er mindre enn eller lik 1, så vil alltid |sin^2 (x) - sin^2 (y)| være mindre eller lik |x-y|

Tusen takk for hjelpen

Jepp!