Bestemme grense med integral i uttrykket

[Mirton]

Hello!
Sliter litt med å bestemme grensen på følgende oppgave:

[tex]\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\int_0^{x^2^}{\sqrt{9+25x^3}dx}[/tex]

Jeg tenker at hvis jeg setter integralet over brøkstreken til første uttrykket, så får vi et ubestemt 0 over 0 uttrykk. Og at jeg derfor kan bruke L'Hopital.. Er denne strategien rett tro? Integralet er vel umulig å løse.. for meg i hvert fall.

Men hvordan skal jeg egentlig derivere integralet? Blir litt forvirret av oppgaven..

Edit: Glemte rotuttrykket

[Vektormannen]

Det høres ut som en god strategi.

For å derivere integralet får du bruk for det som ofte kalles analysens fundamentalteorem. Det sier kort sagt at [tex]\frac{\text{d}}{\text{d}x} \int_a^x f(x) \text{d}x = f(x)[/tex]. Er du kjent med det?

Her må du huske på at det er [tex]x^2[/tex] i øvre grense. Integralet er altså en sammensatt funksjon der indre funksjon er [tex]u(x) = x^2[/tex] og ytre funksjon er funksjonen som gir integralet fra 0 til u. Da må du altså bruke kjerneregelen sammen med fundamentalteoremet.

[Mirton]

Ok, takk for godt svar. Jeg tror jeg forstod hva du mente.. Ser det riktig ut det jeg har kladdet ned?

[Vektormannen]

Ja, dette ser såvidt jeg kan se bra ut

[Mirton]

Tusen takk for hjelpen!

[Vektormannen]

Nei, ikke helt

Husk at i kjerneregelen får du at [tex](f(u(x)))^\prime = f^\prime(u(x)) \cdot u^\prime(x)[/tex].

Her har du satt inn x i stedet for u, altså [tex]x^2[/tex] i den deriverte av integralfunksjonen, ser du det?

[Nebuchadnezzar]

Titter du litt nøyere har han benyttet seg av kjerneregelen (om noe ufin føring), tenkte å nevne det, men så ut som du hadde snøring ; )

Den mer generaliserte fundamentalsetningen er vist under, hvor en benytter seg av kjerneregelen to ganger.

[tex]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} {\Huge(} \int_{u(x)}^{v(x) }f(t) \mathrm{d}t\,{\Huge)}\,=\,f[v(x)]v^\prime(x)-f[u(x)]u^\prime(x)[/tex]

Kan overlate detaljene til deg

EDIT: Selvsagt er bare meg som er døtt og søvning.

[Vektormannen]

Det er ikke det jeg reagerer på heller. Det som er feil er at det er x, og ikke [tex]u = x^2[/tex], som er satt inn i integranden. Den korrekte deriverte blir [tex]\sqrt{9+25(x^2)^3} \cdot 2x[/tex]. (Det har ikke noe å si for grenseverdien, siden x går mot 0, men rett skal være rett.)

[Mirton]

Aha.. Ja, ser den Nå forstod jeg faktisk hva som skjer, jeg var nok litt ute å kjøre i stad.
Takk, takk!