matematikk.net

Hei!

Prøver å finne en partikulær løsning til [tex]x_n + x_{n-1} = \sqrt{n+1}[/tex].

Finner ikke helt ut av hvilken form jeg bør gjette at [tex]x_n^p[/tex] har.

Tips mottas med takk

Tror du må tenke litt annerledes her.

Vi har at

[tex]x_{n}=\sqrt{n+1}-x_{n-1}[/tex].

Altså er

[tex]x_1=\sqrt{2}-x_0[/tex]

[tex]x_2=\sqrt{3}-x_1=\sqrt{3}-\sqrt{2}+x_0[/tex]

[tex]x_3=\sqrt{4}-x_2=\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-x_0[/tex]

Du kan utfra dette gjette på en løsning ved å finne mønsteret, og bruke induksjon til å bevise den.

Spoiler:

[tex]x_n=(-1)^n\left(x_0-\sum_{i=2}^{n+1} (-1)^i\sqrt{i}\right)[/tex].