matematikk.net

Sitter og prøver å bevise, med venn-diagram, noen av lovene for algebra innenfor mengdelære.

Den jeg nylig har bevist er at [tex]A\cup (B\cap C) \ = \ (A\cup B) \cap (A\cup C)[/tex]

Men jeg er litt usikker på terminologien. Jeg vet at "snitt er distrubutivt over union" og vice versa, men hvilken er av disse er det som er nevnt over?

Jeg gjetter at det er "union er distributivt over snitt" siden helhetlig så er det en union mellom to mengder som er utgangspunktet, der den ene mengden er definert som et snitt.

Helt generelt så har jeg aldri funnet noen forklaring på uttrykkene "over" og "under" når det gjelder matematikk.

Eksempelvis det å "løse likninger over de reelle tallene" er noe som faller på plass ved ren logikk, men når bruker man egentlig "over" og "under" i matematisk sammenheng?

Har hørt uttrykk som "closed under multiplication" som går over meg pga. ordet "under".

"lukket under multiplikasjon" er vel et uttrykk som kommer fra vektorrom.

Man sier at X er et vektorrom over en kropp (field) K. (Vanligvis er K enten [tex]\mathbb{R}[/tex] eller [tex]\mathbb{C} [/tex], og du trenger ikke tenke på hva en kropp er. ) "over K" betyr at skalarene man ganger elementene i vektorrommet med er elementer fra K.

At X er lukket under skalarmultiplikasjon betyr at dersom x er en vektor i X og k er en skalar i K, så er kx en vektor i X. Dette er også en av egenskapene X må ha for å kunne kalles et vektorrom.

Man sier også at X er lukket under addisjon, dvs. at dersom x og y er elementer i X, så er også x+y i X.

Man kan vel si at "under" brukes i forbindelse med en operasjon, mens "over" brukes i forbindelse med mengde. (under+[operasjon], over+[mengde])

NB: Ordet "over" brukes også på helt andre måter, så det er vanskelig å si noe helt generelt om det. F.eks. brukes det innen abstrakt algebra i forbindelse med kroppsutvidelser. (field extensions) F/G leses som F over G der F er en kroppsutvidelse av G.

Takk for oppklaringa!

Har jeg forresten rett i å si at regelen jeg nevnte tidlig i innlegget viser at "union er distributivt over snitt" eller er det motsatt? Jeg vet at begge er sanne, men vet ikke helt hvem som er hvem.

Aleks855 skrev:Takk for oppklaringa!

Har jeg forresten rett i å si at regelen jeg nevnte tidlig i innlegget viser at "union er distributivt over snitt" eller er det motsatt? Jeg vet at begge er sanne, men vet ikke helt hvem som er hvem.

Ja, du har rett.

Gracias!

Det sies at [tex]\emptyset \subseteq U[/tex] fordi den tomme mengde er en delmengde i alle mengder, men også at [tex]U^c=\emptyset[/tex]

Hvordan kan en mengdes komplementmengde også være en delmengde? Er dette i det hele tatt tilfellet? I så fall er det vel den eneste mengden som kan sies å ha denne egenskapen?

Passer vel ikke helt her, men morsom non the less
https://www.youtube.com/watch?v=SyD4p8_y8Kw

EDIT: Den tomme mengden er en delmengde av alle mengder.

plutarco skrev:EDIT: Den tomme mengden er en delmengde av alle mengder.

Ja, det nevnte jeg også, men kan en delmengde av U også være komplementmengden av U? Det virker bare litt tåkete. Da må jo den tomme mengde ligge både i og utenfor U...

Aleks855 skrev:

plutarco skrev:EDIT: Den tomme mengden er en delmengde av alle mengder.

Ja, det nevnte jeg også, men kan en delmengde av U også være komplementmengden av U? Det virker bare litt tåkete. Da må jo den tomme mengde ligge både i og utenfor U...

Ja, beklager, det var et dårlig svar.


Definisjon: La B være en mengde. A er en delmengde av B hvis og bare hvis det er slik at dersom x er et element i A, så er x i B.

For en vilkårlig mengde A vil altså [tex]\empty[/tex] tilfredsstille kravene til å være en delmengde utfra definisjonen over.

Det er klart at den tomme mengden er den eneste som oppfyller dette.

Rent logisk ser jeg ikke hva som er uklart i dette. Man er nesten nødt til forholde seg til definisjonen av en delmengde. Et slags geometrisk/intuitivt bilde av konseptet holder ikke i denne sammenhengen.

Nei, logikken er jo egentlig grei så fort man slår seg enig i at alle mengder inneholder en nullmengde. Det var egentlig visualiseringa jeg mente var litt diffus. Jeg fikk liksom ikke illustrert det med venn-diagram