matematikk.net

Hei

Har litt problemer med en oppgave som går ut på å klassifisere alle kontinuerlige funksjoner mellom en uendelig mengde X med "finite complement" topologi og et Hausdorff rom Y.

En liten fugl har hvisket meg i øret at de kontinuerlige funksjonene er kun de konstante funksjonene, men jeg setter meg dessverre fast :S

Dette er det jeg har prøvd:

Anta at f er kontinuerlig, at f ikke er konstant , så når x1 og x2 er to ulike punkter i X, er f(x1) ulik f(x2). Siden Y er Hausdorff og f(x1) og f(x2) er er ulike, har de disjunkte åpne omegn U1 og U2 hhv. . f er kontinuerlig så f^(-1)(U1) og f^(-1)(U2) er åpne delmengder i X. Siden de er åpne, må de ifølge "finite complement" topologien være slik at X\ f^(-1)(U1) og X\ f^(-1)(U2) enten er endelige eller lik X.

Herfra står det fast. Har et håp om å ende opp med en selvmotsigelse.
Tenker at hvis de begge ( X\ f^(-1)(U1) og X\ f^(-1)(U2) ) er endelige så må både f^(-1)(U1) og f^(-1)(U2) være lik X (ser ingen annen måte at det skal være endelig på) og motsatt må de begge være like den tomme mengden hvis komplementet er lik X. Høres sikkert dumt ut, men jeg klarer ikke å konkludere med noe ut fra dette, har sett meg helt blind på den.

Blir veldig takknemlig for all hjelp

Du er vel nesten i mål.

Motsigelsen kommer vel i form av at mengdene [tex]f^{-1}(U1)[/tex] og [tex]f^{-1}(U2)[/tex] ikke kan være disjunkte. Derfor fins det en x som er inneholdt i begge. Da vil f(x) være med i både U1 og U2, noe som ikke er mulig siden U1 og U2 er disjunkte.

Du må tilføre et lite argument for at mengdene ikke er disjunkte.

Tenkte litt mer over denne oppgaven. Det er kanskje tydeligere å argumentere på følgende måte. (selv om det i prinsippet er helt likt)

La f være en kontinuerlig funksjon fra X til Y. Y er Hausdorff, X uendelig og utstyrt med kofinitt topologi [tex]\tau[/tex].

Anta at f ikke er konstant. Da fins [tex]y_1\neq y_2[/tex] i Y som er med i bildet av X under f.

La [tex]V_1[/tex] og [tex]V_2[/tex] være to åpne omegner om hhv. [tex]y_1[/tex] og [tex]y_2[/tex]. Kontinuiteten til f gir at inversbildene [tex]f^{-1}(V_1)[/tex] og [tex]f^{-1}(V_2)[/tex] er åpne i [tex](X,\tau)[/tex].

Merk at begge inversbildene er ikketomme.

Anta at [tex] f^{-1}(V_1)\cap f^{-1}(V_2)=\empty[/tex]. Da må [tex]f^{-1}(V_1)\subseteq X\setminus f^{-1}(V_2) [/tex]. Altså må [tex]f^{-1}(V_1)[/tex] være endelig. Siden X er uendelig, vil dermed [tex]X\setminus f^{-1}(V_1)[/tex] være uendelig, og vi får en motsigelse.

Så vi må ha at [tex] f^{-1}(V_1)\cap f^{-1}(V_2)\neq \empty[/tex].

La [tex]x\in f^{-1}(V_1)\cap f^{-1}(V_2)[/tex]. Da er f(x) i både [tex]V_1[/tex] og [tex]V_2[/tex]. Siden dette gjelder alle åpne omegner om [tex]y_1[/tex] og [tex]y_2[/tex] fins det ingen par av disjunkte omegner om [tex]y_1[/tex] og [tex]y_2[/tex], og Y vil ikke være Hausdorff. Dette blir dermed motsigelsen.

Tusen takk, plutarco, nå fikk du ryddet opp i rotet i hodet mitt Bortsett fra hvorfor inversbildene er ikketomme? Kan hende det er en veldig basic grunn til det, men er jeg litt treg.

Nå visste jeg atfunksjonene som er kontinuerlige kun er de konstante funksjonene bare fordi en som prøvde å hjelpe meg med oppgaven sa det, men hvordan er det noe man kunne "skjønne"? Ser jo at å sjekke om dette er tilfellet utelukker veldig mange andre typer funskjoner, men likevel

Det fins [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex] i X slik at [tex]f(x_1)=y_1[/tex] og [tex]f(x_2)=y_2[/tex]. [tex]x_1 \in f^{-1}(V_1)[/tex], ergo er [tex]f^{-1}(V_1)[/tex] ikketom. Likedan for den andre.

Dette med gjetningen på konstante funksjoner er jeg ikke helt sikker på hvordan man skal forklare. Oppgaven kan virke litt håpløs dersom man ikke har denne tilleggsinfoen. Jeg antar at det handler litt om å forenkle tankegangen mest mulig.

Dersom man tenker seg om er konstante funksjoner den enkleste og mest grunnleggende klassen med funksjoner. Det vil derfor være naturlig å først sjekke om alle andre funksjoner enn disse tilfredsstiller kravene i oppgaven.

Det er også ganske vanskelig å beskrive andre klasser med funksjoner på slike abstrakte og generelle domener/kodomener.

Jeg antar det derfor er ganske naturlig å gjøre antagelsen.