Stasjonærpunkt: f(x,y)

[Magneman]

Gitt funksjonen:

[tex]f(x,y) = x^3 + 3xy + y^3[/tex]

Finn stasjonærpunkter.

Partiellderiverer med hensyn på x og med hensyn på y og setter de lik 0, får dermed likningssett hvor stasjonærpunktene er (0,0) og (-1,-1).
På grunn av likningssettet blir y = 0 når x = 0, og y = -1 når x = -1. Det jeg nå lurer på: hvorfor blir ikke puntekene (-1,0) eller (0,-1) stasjonærpunkter?

[Lord X]

[tex]\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x,y)=3x^2+3y=3(x^2+y)[/tex]

og

[tex]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)=3x+3y^2=3(x+y^2)[/tex]


Den partiellderiverte av f mhp. x når x=0 blir 3y, ikke null!

[Magneman]

Det er ikke x som skal være null, det er begge de partiellderiverte. Muligens noe upresist formulert i førstepost. Det er likningssettet som skal løses:

1: [tex]\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x,y)=3x^2+3y= 0[/tex]


2: [tex]\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x,y)=3x+3y^2=0[/tex]

Disse skal løses, og det gir x = 0 når y = 0, og x = -1 når y = -1
Det jeg da lurer på er hvorfor ikke (-1,0) eller (0,-1) er stasjonærpunkter, ettersom de partiellderiverte for disse x- og y-verdiene vil være 0.

[Lord X]

Ja, eg er klar over det.

Men du spurte kvifor f.eks. ikkje (0,-1) var stasjonærpunkt, og då påpeikte eg at viss du set inn x=0 i uttrykket for [tex]\frac{\partial{f}}{\partial{x}}[/tex] får du 3y dvs. i punktet (0,-1) er den partiellderiverte lik -3, ikkje lik null! Altså er det ikkje eit stasjonært punkt.

Tilsvarande vil den partiellderiverte mhp. y vere -3 i punktet (-1,0), ergo er heller ikkje dette eit stasjonært punkt.

[Magneman]

Ja, eg er klar over det.

Men du spurte kvifor f.eks. ikkje (0,-1) var stasjonærpunkt, og då påpeikte eg at viss du set inn x=0 i uttrykket for [tex]\frac{\partial{f}}{\partial{x}}[/tex] får du 3y dvs. i punktet (0,-1) er den partiellderiverte lik -3, ikkje lik null! Altså er det ikkje eit stasjonært punkt.

Tilsvarande vil den partiellderiverte mhp. y vere -3 i punktet (-1,0), ergo er heller ikkje dette eit stasjonært punkt.

Hei, beklager, misforstod det du skrev.

Ja, jeg ser at det må bli slik. Det er vel mer det "intuitive" som plaget meg mer enn selve regningen.

Problemet, tror jeg, var at jeg tenkte at dersom den partiellderiverte mhp y i et punkt var 0, ville den partiellderiverte mhp x som gir 0 for forskjellige x-verdier kunne kombineres med den ene verdien for y som gir den partiellderiverte lik 0 (for eksempel både (0,0) og (-1,0).
Men de partiellderiverte mhp på både x og y vil være avhengig av x- og y-verdiene, og det var her jeg tråkket feil (om jeg forsto det rett).