matematikk.net

Hello Godtfolk

Skal forsøke meg på følgende integral:

[tex]\underset{0}{\overset{2}{\int }}\,\frac{4{{x}^{2}}+5x+6}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}\text{d}x[/tex]

Har gjort dette:

[tex]\frac{4{{x}^{2}}+5x+6}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{{{x}^{2}}+1}[/tex]

[tex]4{{x}^{2}}+5x+6=A\left( {{x}^{2}}+1 \right)+(Bx+C)\left( x+1 \right)[/tex]

Kanskje håpløst å drive med delbrøkoppspalting på et forum, men sitter litt fast her. Har jeg gjort rett så langt? Og hvordan går jeg videre?

Det er flere måter å gjøre delbrøkoppspalting på, de de letteste uttrykkene er nok trikset å legge til 0 i teller og faktorisere.

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=28110

http://lpsa.swarthmore.edu/BackGround/P ... ction.html

Står litt her under brøkregning =) Kort sagt

1.) Se først om du har noen enkle nevnere, eller de tellerene av høyest grad.
Så her ser vi at den eneste enkle telleren vi har er [tex]x+1[/tex].

Hadde vi for eksempel hatt [tex]A/(x+1) + B/(x+1)^2[/tex]. Så ville vi bare brukt B/(x+1)^2, fordi den har høyest grad.

2.) Definer så en funksjon som er

[tex]\varphi(x) = f(x) - \text{delbr{\o}koppspaltingen}[/tex]

I vårt tilfelle blir dette

[tex]\varphi(x) = \frac{4x^2 +5x + 6}{(x+1)(x^2+1)} - \frac{A}{x+1} - \frac{Bx + C}{x^2+1}[/tex]

3.) Regn så ut

[tex]\lim_{x\to a} (x-a) \varphi(x)[/tex]

Altså gang funksjonen med en av de enkle tellerene og ta grenseverdien.
Grenseverdien blir nullpunktet til nevneren. I vårt tilfelle har vi bare en, som gir oss

[tex]\lim_{x\to -1} (x+1) \varphi(x) = \lim_{x\to -1} \frac{4x^2+5x+6}{x^2+1} - A - (x+1)\frac{Bx+C}{x^2+1} = \frac{4 - 5 + 6}{1 + 1} - A - 0[/tex]

Som gir oss direkte at [tex]A = 5/2[/tex]. Denne teknikken fungerer ikke for [tex]x^2+1[/tex], fordi den ikke er enkel, altså den ikke har noen nullpunkter. Det vi gjør for å regne ut [tex]B[/tex] og [tex]C[/tex], er å først sette inn verdien vi fant for A. Også bare sette inn to [tex]x[/tex]-verdier, og løse likningsettet.

Det enkleste blir for eksempel å løse likningsettet

[tex]\varphi(0) = 0[/tex]

[tex]\varphi(1) = 0[/tex]

Grunnen til at vi trenger to verdier, er fordi vi har to ukjente.

I korte ord, kan vi alltid regne ut de enkle nevnerene av høyest grad, med metoden ovenfor. Har vi ikke enkle nevnere, sparer vi disse til slutt, og bruker likningsett til å finne disse.

Det skal og nevnes at systemet ovenfor, og kunne blitt løst ved hjelp av gaus-jordan. Men på såpass enkle oppspaltinger blir det å skyte spurv med kanon ^^

Du er nesten i mål.

[tex]4{{x}^{2}}+5x+6=Ax^2+A+Bx^2+Bx+Cx+C[/tex]

[tex]4{{x}^{2}}+5x+6=x^2(A+B)+x(B+C)+A+C[/tex]

Får da likningene:

[tex]4=A+B \\ 5=B+C \\ 6=A+C[/tex]

hei,

ser bra ut dette. samle sammen x^2 ledda, x og konstantene - og sammenlikn

[tex]4x^2+5x+6=x^2(A+B)+x(B+C)+(A+C)[/tex]
da er
[tex]4=A+B[/tex]

[tex]5=B+C[/tex]

[tex]A+C=6[/tex]

Takk for hjelpen. Regnet litt videre på den i kveld. Slet først med at jeg ønsket å sette opp to integraler, med bx+c over det andre. Men møtte veggen. Delte det opp i tre integraler etter et tips. Ble noe sånt som:

[tex]A=\frac{5}{2} B=\frac{3}{2} C=\frac{7}{2}[/tex]

[tex]\frac{5}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}\,\frac{1}{{x}+1}\text{d}x+\frac{3}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}\,\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x+\frac{7}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x[/tex]

[tex]\frac{5}{2}\left( In\left( x+1 \right) \right)_{0}^{2}+\frac{3}{2}\underset{0}{\overset{2}{\int }}\,\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\text{d}x+\frac{7}{2}\left( {{\tan }^{-1}}\left( x \right) \right)_{0}^{2}[/tex]

Regna meg litt videre derfra og fikk et fornuftig svar ifølge wolfram alpha.