matematikk.net

Hei der,

Hvordan ville du ha løst dette integralet?

[tex]\int \frac{1}{sin^3(x)} dx[/tex]

vha delvis integrasjon, dvs reduksjonsformelen

[tex]I=\int \csc^n(x)\,dx=\frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}(x)\,dx-\frac{\cot(x)\csc^{n-2}(x)}{n-1}+C[/tex]

den første røver'n blir da for n = 3

[tex]\int\frac{dx}{\sin(x)}[/tex]

som vi har løst her inne mange ganger...

Hvordan kom du fram til formelen over?

Satte du i delvis integrasjon :

[tex]u=csc^n(x)[/tex]
[tex]u^\prime=-ncos(x)csc^{n+1}[/tex]

[tex]v^\prime=1[/tex]
[tex]v=x[/tex]

?

Isåfall burde vel en x være involvert noe jeg ikke ser.

Så hvordan kom man fram til denne formelen [tex]I[/tex]

Integralen skrev:Hvordan kom du fram til formelen over?
Satte du i delvis integrasjon :
[tex]u=csc^n(x)[/tex]
[tex]u^\prime=-ncos(x)csc^{n+1}[/tex]
[tex]v^\prime=1[/tex]
[tex]v=x[/tex]Isåfall burde vel en x være involvert noe jeg ikke ser.
Så hvordan kom man fram til denne formelen [tex]I[/tex]

http://www.integraltec.com/math/math.php?f=csc_n.html

Eller ved bruk av delbrøkoppspalting og litt teknikk:

[tex]\int \frac{1}{sin^{3}(x)}dx=\int \frac{sin(x)}{sin^{4}(x)}dx=\int \frac{sin(x)}{(1-cos^2(x))^2}dx[/tex]

[tex]u=cos(x)[/tex]
[tex]du=-sin(x)dx[/tex]

[tex]-\int \frac{du}{(1-u^2)^2 }[/tex]

uten minusfortegnet:

[tex]\frac{1}{(1-u^2)^2 }=\frac{1}{(u^2+1)^2 }=\frac{A}{u+1}+\frac{B}{(u+1)^2}+\frac{E}{u-1}-\frac{D}{(u-1)^2}[/tex]

Ved å sette u lik hhv. 1,-1, 0 og 2 får jeg:

[tex]A=\frac{1}{4}[/tex]

[tex]B=\frac{1}{4}[/tex]

[tex]E=\frac{1}{4}[/tex]

[tex]D=-\frac{1}{4}[/tex]

med minusfortegnet fra over:

[tex]-\frac{1}{(u^2+1)^2 }=-\frac{1}{4}\int\frac{1}{u+1}-\frac{1}{4}\int\frac{1}{(u+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1}{u-1}-\frac{1}{4}\int\frac{1}{(u-1)^2}[/tex]
=
[tex]-\frac{1}{4}ln|cos(x)+1|+\frac{1}{4cos(x)4}+\frac{1}{4}ln|cos(x)-1|+\frac{1}{4cos(x)+4}+C[/tex]

Legg merke til linken min Integralen..