Vis at det ikke finnes K:|f(x)-f(y)|<=K|x-y|,f(x)=sqrt(x)
Lagt inn: 08/12-2012 20:53
God dag.
Oppgaven er denne:
a) Anta [tex]f^\prime[/tex] er kontinuerlig på [tex][a, b][/tex]. Vis at det finnes et tall K slik at
[tex]|f(x)-f(y)|\le K|x-y|[/tex]
for alle [tex]x, y \in [a, b][/tex].
b) La [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex]. Vis at det ikke finnes en konstant [tex]K[/tex] slik at [tex]|f(x)-f(y)|\le K|x-y|[/tex]. Hvorfor strider ikke dette mot a)?
På oppgave a) tenkte jeg at jeg kunne gjøre slik:
Middelverdisetningen gir
[tex]f(x)-f(y)=f^\prime(c)(x-y)[/tex]
Da har vi at
[tex]|f(x)-f(y)|=|f^\prime(c)||x-y|\le K|x-y|[/tex]
der [tex]K = \max_{c\in[a,b]} |f^\prime(c)|[/tex]
Noe jeg har bommet på her?
Oppgave b) ser jeg ikke helt hvordan skal løses, så hyggelig om noen kunne komme med noen tips der.
Takk for alle innspill.
Oppgaven er denne:
a) Anta [tex]f^\prime[/tex] er kontinuerlig på [tex][a, b][/tex]. Vis at det finnes et tall K slik at
[tex]|f(x)-f(y)|\le K|x-y|[/tex]
for alle [tex]x, y \in [a, b][/tex].
b) La [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex]. Vis at det ikke finnes en konstant [tex]K[/tex] slik at [tex]|f(x)-f(y)|\le K|x-y|[/tex]. Hvorfor strider ikke dette mot a)?
På oppgave a) tenkte jeg at jeg kunne gjøre slik:
Middelverdisetningen gir
[tex]f(x)-f(y)=f^\prime(c)(x-y)[/tex]
Da har vi at
[tex]|f(x)-f(y)|=|f^\prime(c)||x-y|\le K|x-y|[/tex]
der [tex]K = \max_{c\in[a,b]} |f^\prime(c)|[/tex]
Noe jeg har bommet på her?
Oppgave b) ser jeg ikke helt hvordan skal løses, så hyggelig om noen kunne komme med noen tips der.
Takk for alle innspill.